Задача 93. Низкоэнергетическое рассеяние на модифицированном потенциале Пешля — Теллера

Используя сферически симметричный потенциал

являющийся результатом обобщения потенциала задачи 39 на трехмерный случай, получить сечение рассеяния в пределе малых энергий

Решение. Найденные в задаче 39 одномерные решения при можно использовать и в трехмерном случае, следует лишь учесть, что дополнительному граничному условию удовлетворяют только нечетные решения, поэтому ниже нам понадобятся лишь соотношения (39.126), (39.136) и второе из равенств (39.14). С учетом упомянутых формул имеем

Дальнейшая, по существу чисто математическая, задача состоит в том, чтобы придать выражению (93.3) вид, удобный для числового расчета.

Введя обозначения

перепишем (93.3) в более компактной форме:

Из хорошо известных тождеств

и

вытекают следующие соотношения для фаз:

и

Исключая из них получаем

Если теперь заменить здесь величину ее выражением (93.4), то формула (93.5) приобретет вид

или

Для аргументов, фигурирующих в последнем выражении -функ-ций, имеют место следующие представления:

и

поэтому их разность запишется в виде

Отсюда окончательно получаем

Нетрудно убедиться, что фаза рассеяния стремится к нулю при стремлении к нулю энергии рассеиваемой частицы Действительно,

Что же касается сечения рассеяния

то оно стремится тогда к конечному пределу. Исключениями являются случаи, когда X равно целому четному числу, т. е. когда обращается в бесконечность. В этих случаях сечение а стремится к бесконечности, что можно объяснить наличием резонансного уровня в потенциальной яме, которому при рассматриваемых значениях X соответствует энергия, в точности равная нулю.

Расчет величин 60 и а по формулам (93.7) и (93.9) представляет чисто техническую задачу, и мы не будем вдаваться в соответствующие детали. Заметим лишь, что для целых X (четных или нечетных) бесконечный ряд в формуле (93.7) вырождается в конечную сумму, а второй член в этой формуле равен либо нулю (нечетные либо (четные X), т. е., если

а если

В том случае, когда X не является целым числом, бесконечную сумму в формуле (93.7) можно разложить в ряд по степеням Вводя обозначение где -наибольшее целое число, не превосходящее можно написать

и

где

Каждый член этого биномиального разложения можно выразить через -функ-цию от аргументов . Предлагаемый метод приводит к представлению фазы в виде быстро сходящегося ряда.

Некоторые результаты числовых расчетов показаны на фиг. 54, где изображена зависимость сечения рассеяния от энергии падающих частиц (обе величины взяты в подходящих единицах). Гипербола соответствует предельному значению сечения оно всегда превосходит значение парциального сечения рассеяния с В случае мы имеем резонанс при нулевом значении энергии, для двух других кривых, соответствующих значениям предельное сечение рассеяния конечно. В случае вблизц точки имеется виртуальный уровень поэтому кривая сечения рассеяния в этой области энергий проходит очень близко от предельной гиперболы. Для значения (эта кривая не показана на фигуре) сечение спадает до нуля в точке но затем по мере роста энергии снова возрастает.

Фиг. 54. Сечения рассеяния на трех различных модифицированных потенциалах Пешля — Теллера.

Гипербола определяет предел который никогда не может быть превзойден сеченнем