Задача 86. Рассеяние на резонансных уровнях

Сферическая полость радиуса окружена тонкой потенциальной стенкой, непроницаемость которой характеризуется безразмерным коэффициентом так что потенциал имеет вид

Исследовать рассеяние парциальной волны с

Замечание. Эта задача тесно связана с одномерным случаем, рассмотренным нами в задаче 27. Однако определение коэффициента непроницаемости здесь отличается от определения, данного в задаче 20 и использованного в задаче 27, наличием множителя в знаменателе формулы (86.1). Дело в том, что в одномерном случае в нашем распоряжении не было характерного параметра, имеющего размерность длины, который был бы подобен радиусу сферической полости настоящей задачи. Заметьте, кстати, что одномерная -функция имеет размерность обратной длины.

Решение. Уравнение Шредингера для радиальной волновой функции в случае потенциала (86.1) имеет вид

Сама функция должна быть непрерывной в точке, где у потенциала имеется сингулярность, ее же производная в этой точке претерпевает разрыв, что можно установить, проинтегрировав уравнение (86.2) вблизи поверхности потенциальной стенки. Это интегрирование дает

так что для логарифмической производной

в результате получаются граничные условия

С помощью соотношения (86.4) теперь можно связать выражения для волновой функции внутри сферической полости:

и вне ее

В результате имеем

Последнее уравнение можно переписать в виде, более удобном для определения фазы:

Амплитуда А, фигурирующая в выражении (86.5а), легко находится с помощью условия непрерывности функции

Исключая отсюда с помощью уравнения (86.7) фазу 60, получаем

Как нетрудно убедиться, для непроницаемой потенциальной стенки из уравнения (86.7) следует результат, соответствующий предельному случаю рассеяния на жесткой сфере:

В этом случае амплитуда А, согласно формуле (86.8), обращается в нуль.

При конечных, но достаточно больших значениях вблизи нулей знаменателя дроби, стоящей справа в уравнении (86.7), имеются такие узкие полосы значений энергии, для которых в характере рассеяния наблюдаются существенные отличия от рассеяния на жесткой сфере. Это те же самые узкие энергетические полосы, для которых, как показывает формула (86.8), амплитуда А внутри полости становится большой. Таким образом, налицо типичное явление резонанса, когда для узких энергетических полос имеется сильная связь между колебаниями внутри и вне полости, а для всех прочих энергий такая связь почти полностью отсутствует. Чем более проницаема потенциальная стенка, тем менее отчетливо выражено явление резонанса.

Если то резонансы имеют место вблизи точек

Но это соответствует как раз тем энергиям, для которых другими словами, это собственные уровни полости

в том случае, когда она окружена непроницаемой потенциальной стенкой. Таким образом, резонансные уровни, отвечающие максимальной связи, совпадают или весьма близки к собственным энергетическим уровням полости.

Ниже обсуждаются результаты числовых расчетов для случаев Для меньшего значения, зависимость фазы рассеяния от х показана на фиг. 48. При малых энергиях наша кривая не очень отличается от прямой, соответствующей рассеянию на жесткой сфере, однако тангенс угла наклона начального участка нашей кривой равен вместо —1 в случае жесткой сферы. Первые два нуля знаменателя дроби в (86.7) расположены соответственно при и (на фигуре их положение отмечено вертикальными пунктирными линиями).

Фиг. 48. Зависимость фазы рассеяния 60 от для сферической полости с При больших значениях резонансы выражены отчетливее (см. фиг. 49, а).

Эти резонансные энергии лежат заметно левее точек в которых фаза рассеяния вновь обращается в нуль. При больших значениях резонансные энергии располагаются ближе к точкам так, например, для значения первый резонанс сдвигается в точку а второй — в точку (см. фиг. 49, б). Подъем фазовой кривой становится при этом круче, и резонанс выражен более отчетливо. В пределе мы имеем в точках скачки фазы Разумеется, это не противоречит линейному закону (86.9) для случая жесткой сферы, так как к фазе всегда можно добавить целое кратное я.

Проанализируем явление резонанса в случае более подробно. На фиг. 49, б изображена амплитуда А, рассчитанная по формуле (86.8). Мы видим, что у амплитудной кривой имеется два отчетливо выраженных резонансных максимума, лежащих в тех же точках х, которые отмечены на фазовой диаграмме (фиг. 49, б) вертикальными пунктирными линиями. Из фиг. 49, а видно, что сечение рассеяния, по крайней мере для первого из

Фиг. 49. а — сечение рассеяния при (на фигуре использованы два различных масштаба). Несмотря на пренебрежение высшими моментами количества движения, на кривой сечения рассеяния даже для отчетливо выраженного резонанса при имеется всего лишь довольно незначительный пик. б - резонансы на амплитудной кривой. в — та же фаза рассеяния что и на фиг. 48, но для случая

этих значений х, имеет небольшой, но не очень отчетливо выраженный резонансный пик. По обе стороны от каждого резонанса имеются две точки, для которых следовательно,

Верхнему знаку отвечают точки где Последний результат совсем нетрудно понять, если заметить, что в этом случае волновые функции внутри и вне полости тождественно совпадают и поэтому не возникает никакой рассеянной

волны вообще. Нижнему знаку в формуле (86.10) отвечают точки, расположенные вблизи минимумов фазы рассеяния. Из соотношения

легче получить, что фаза рассеяния стационарна в точках

Для случая мы находим и 5,406, в то время как формула (86.10) при выборе нижнего знака дает

что при том же значении приводит к значениям располагающимся очень близко к точкам минимумов фазовой кривой.

Кривая сечения рассеяния содержит довольно скудную информацию (см. фиг. 49,а). Первый резонанс приводит лишь к небольшому пику. На кривой не заметно никаких следов второго резонанса, если не считать двух нулей, расположенных много правее и много левее от него. Наличие этих нулей говорит лишь о том, что где-то между ними имеется резонанс неизвестной высоты и ширины. Еще меньше сведений мы можем получить из экспериментальной кривой сечения рассеяния, так как возрастающий с ростом х вклад состояний с высшими значениями момента может замаскировать наличие нулей на кривой сечения