Задача 26. Прямоугольная потенциальная яма между двумя бесконечными стенками

Найти решения уравнения Шредингера для потенциала, изображенного на фиг. 10. Особо рассмотреть состояния с положительной энергией в предельном случае

Решение. Начнем с беглого рассмотрения "связанных" состояний, для которых Используя прежние обозначения определенные посредством (25.2), и условие нормировки

можем записать волновые функции следующим образом:

четные

нечетные

Фиг. 10.

Здесь, как и ранее в задаче 25, мы уже позаботились о непрерывности при но требование непрерывности производной в этой точке дает нам дополнительное условие:

четные

нечетные

которое и позволяет вычислить собственные значения. Мы не будем, однако, углубляться в дальнейшие детали и лишь заметим, что при

обе гиперболические функции быстро стремятся к единице. При этом уравнения (26.2а) и (26.26) переходят в уравнения для собственных значений (25.4а) и (25.46) предыдущей задачи, а нормировочные соотношения (26.1а) и (26.16) для в соответствующие соотношения (25.3а) и (25.36). В выражениях же (26.1а) и (26.1б) для самих волновых функций, когда , но можно положить

снова возвращаясь, таким образом, к волновым функциям (25.3а) и (25.36).

Гораздо более интересен вопрос о состояниях с положительной энергией. При конечных значениях I имеются дискретные собственные значения, образующие по мере роста все более

плотную систему уровней, которая в предельном случае переходит в континуум. Введя вместо новую переменную

мы можем записать волновые функции в виде: четные

нечетные

Согласно этим выражениям, функция уже непрерывна, требование же непрерывности производной и снова дает условие: четные

нечетные

которое позволяет вычислить собственные значения. Используя это условие, мы можем заменить а) во вторых скобках в нормировочных выражениях для В результате получим

и

Если то второй член в этих выражениях неограниченно

возрастает, поэтому

Амплитуды вне ямы можно, однако, определить непосредственно из (26.4а) и (26.46)

так что при обе волновые функции принимают вид

Здесь величина I все еще входит в фазу волновой функции, но ее можно исключить, воспользовавшись снова уравнениями (26.5а) и (26.56), определяющими собственные значения: четные

нечетные

Наиболее примечательной особенностью этой системы волновых функций являются их энергетические уровни, плотность которых можно определить из уравнений (26.5а) и (26.56) для случая очень больших, но все еще конечных значений Правые части этих уравнений пробегают всю действительную ось от до когда переменная пробегает интервал шириной . В каждом таком интервале существует ровно одно решение как у одного, так и у другого уравнения; поэтому мы получаем чередующиеся четные и нечетные уровни, расположенные в среднем на расстоянии (в шкале переменной К) друг от друга. Среднее же расстояние между уровнями в энергетической шкале, согласно (26.3), равно

Таким образом, среднее расстояние между последовательными уровнями растет лишь как и обратно пропорционально длине

нормировочного интервала. Следовательно, в пределе дискретный энергетический спектр переходит в непрерывный.

Поведение амплитуды при переходе к непрерывному спектру для случая показано на фиг. 11. Безразмерная величина представляет собой меру квадрата амплитуды внутри ямы, когда нормировка на всем протяжении вне ямы остается одной и той же, а величина I велика. График этой величины в зависимости от т. е. в зависимости от энергии в безразмерных единицах, построен с помощью формул (26.7).

Фиг. 11. Виртуальные состояния в непрерывном спектре.

Ясно, что имеется бесконечное число последовательных значений энергии, для которых величина принимает максимальное значение, равное единице. Между максимумами лежат минимумы амплитуды, выраженные тем слабее, чем выше энергия (обратите внимание, что нижняя половина оси ординат на фиг. 11 не показана). При энергиях, соответствующих максимумам амплитуды, рассматриваемые состояния, хотя их энергия положительна, все еще сохраняют некоторые черты связанных состояний, так как в этих состояниях достигается максимально возможная концентрация волновой функции в области, занятой ямой. По этой причине о них часто говорят как о виртуальных состояниях в противоположность "истинным" связанным состояниям с отрицательной энергией.