Задача 102. Длина рассеяния потенциала Юкавы
Определить длину рассеяния в случае сил притяжения, описываемых потенциалом Юкавы:
Рассмотреть три метода:
а) метод линеаризованного уравнения Калоджеро;
б) метод численного интегрирования уравнения Шредингера при 
в) Метод Борна.
Решение. И линеаризованное уравнение Калоджеро, и борновское приближение — это методы, типичные для области высоких энергий, поэтому не следует ожидать, что они дадут надежные результаты для длины рассеяния, т. е. в области низких энергий. В задаче 98 было показано, что линеаризованное уравнение Калоджеро лучше второго и тем более лучше первого борцовского приближений. Таким образом, данная задача может служить иллюстрацией того, что эти приближения с точки зрения их качества располагаются именно в таком порядке, как указано выше. В этой связи весьма удивительно, что полученные ниже результаты в общих чертах все же передают основные особенности рассеяния даже при нулевой энергии.
а. Воспользовавшись, выражением (98.4) для функции 
и определением длины рассеяния
и введя обозначения
мы получим следующую приближенную формулу:
Подставив в эту формулу
найдем
Вводя интегральную экспоненту
и интегрируя по частям, окончательно получаем
где 
постоянная Эйлера. Числовые результаты для некоторых значений константы взаимодействия 
приведены в нижеследующей таблице:
(см. скан)
б. Длину рассеяния можно определить, зная решение радиального уравнения Шредингера при нулевой энергии
которое определяется начальными условиями
При очень больших значениях х член, содержащий потенциальную энергию, практически равен нулю, поэтому асимптотическое решение представляет собой линейную функцию:
где постоянная а связана с длиной рассеяния а соотношением
Разрешая асимптотическое равенство (102.8) относительно 
получаем
Ниже в таблице приведены интересующие нас величины, полученные численным интегрированием уравнения (102.6) при начальных условиях (102.7) для случая 
(см. скан)
Из таблицы видно, что величина а, рассчитанная по формуле (102.10), при 
равна нулю, а затем с ростом х медленно возрастает, стремясь к некоему постоянному пределу, который и определяет длину рассеяния. В нашем примере имеем
Это значение следует сравнить с приближенным значением (102.5),
которое при 
равно
в. Формулу первого борновского приближения можно получить из формулы (102.4), если оставить там только член, линейный по 
Таким образом, имеем
что в случае 
дает
Если же в разложении подынтегрального выражения в (102.4) мы учтем еще и член, квадратичный по 
то в результате у нас получится формула второго борновского приближения:
Отсюда для случая 
находим
В заключение заметим, что чем сильнее взаимодействие, тем, разумеется, больше отклоняются от точного все три рассмотренные нами приближенные значения. Классификация этих приближений в качественном отношении вполне соответствует той, которая предсказывалась нами в самом начале задачи.
Литература к задачам 96—102
(см. скан)
