Задача 104. Интеграл по прицельному расстоянию

Когда где эффективный размер области взаимодействия, основной вклад в амплитуду рассеяния дают состояния с Заменив сумму по I интегралом по прицельному расстоянию и взяв для фазы рассеяния выражение, полученное методом ВКБ, определите сечение рассеяния.

Решение. В общую формулу амплитуды рассеяния

введем прицельное расстояние

и используем его в качестве переменной интегрирования:

Замена нижнего предела интегрирования нулем в данном случае вполне допустима. Несколько труднее представить полином Лежандра в виде функции прицельного расстояния По определению полиномы Лежандра связаны с гипергеометрической функцией соотношением

или подробнее

Отсюда нетрудно получить асимптотическое выражение для значений Введем обозначение

тогда, очевидно,

и, следовательно, коэффициенты ряда (104.46) отличаются от лишь членами порядка Если пренебречь этими поправками в случае больших то равенство (104.46) можно записать в виде

но последний ряд, как известно, представляет функцию Бесселя, поэтому окончательно получаем

Подставляя выражение (104.6) в формулу (104.3) и учитывая соотношение (104.2), находим

Так как энергия рассеиваемой частицы велика, то мы можем для вычисления фазы рассеяния применить приближение ВКБ, воспользовавшись методом квазипотенциала, развитым в задаче 124. Согласно равенству (124.7), имеем

где функцию в области высоких энергий, а точнее, при условии

для всех значений можно заменить потенциалом Если теперь от переменной вернуться к переменной то у нас получится следующее простое соотношение:

Стоит заметить, что это соотношение линейно по потенциалу поэтому, когда потенциал состоит из отдельных простых слагаемых, как, например, межмолекулярный потенциал Леннарда — Джонса, содержащий две отрицательные степени п., их вклады в фазу рассеяния просто суммируются.

В заключение запишем формулу для полного сечения рассеяния, применив к соотношению (104.7) оптическую теорему

Это даст

Замечание. Аппроксимация (104.6) очень удобна в задачах рассеяния в тех случаях, когда энергия велика. Она значительно лучше известного асимптотического выражения

которое имеет особенности в точках

Фиг. 55. Полином Лежандра (сплошная линия) и аппроксимирующая его функция Бесселя (104.6) (пунктирная линия).

Вблизи (рассеяние вперед, представляющее наибольший интерес) равенство (104.6) является почти точным. По мере роста угла точность приближения ухудшается, и в точке мы получаем вместо нужного значения На фиг. 55 для сравнения изображены полином и аппроксимирующая его функция (104.6). Так как с ростом энергии рассеяние назад становится все менее существенным, то эта ошибка нашей аппроксимации не играет сколько-нибудь заметной роли.

Литература

(см. скан)