Задача 76. Импульсное представление для волновых функций в поле центральных сил

В обычном пространстве волновая функция разбивается на радиальную и угловую части, причем последняя представляет собой сферическую гармонику. Показать, что в импульсном пространстве волновая функция допускает точно такую же факторизацию.

Решение. Будем предполагать, что в формулах, осуществляющих связь между координатным и импульсным представлениями,

и

функция и имеет вид произведения:

Чтобы найти фурье-образ этой функции, разложим экспоненту, фигурирующую в формуле (76.2), по сферическим гармоникам, которые, очевидно, будут функциями угла у, образованного вектором и вектором (см. задачу 81). Это разложение имеет вид

С помощью теоремы сложения сферических гармоник функцию можно выразить через сферические углы вектора и сферические углы в, вектора

Подставляя теперь формулу (76.5) в правую часть формулы (76.4), а затем полученный результат и выражение (76.3) в интеграл (76.2), получаем

Интегрирование по направлениям вектора можно выполнить с помощью формулы

В результате от двойной суммы у нас останется только один член с индексами и мы получаем

Таким образом, волновая функция в пространстве импульсов может быть представлена в виде произведения

где

Мы видим, что радиальные части волновых функций связаны между собой преобразованием Ханкеля. Преобразование, обратное преобразованию (76.7), записывается в виде

Если в координатном пространстве волновая функция и нормирована так, что допускается ее обычная вероятностная интерпретация, т. е.

то подстановка выражения (76.8) в формулу (76.9) даст

Выполняя здесь сначала интегрирование по и учитывая, что

получаем

Таким образом, в пространстве импульсов правомерна та же самая вероятностная интерпретация: в рассматриваемом квантовом состоянии абсолютное значение импульса частицы будет обнаружено в интервале между с вероятностью