Главная > Задачи по квантовой механике. Том 1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Задача 76. Импульсное представление для волновых функций в поле центральных сил

В обычном пространстве волновая функция разбивается на радиальную и угловую части, причем последняя представляет собой сферическую гармонику. Показать, что в импульсном пространстве волновая функция допускает точно такую же факторизацию.

Решение. Будем предполагать, что в формулах, осуществляющих связь между координатным и импульсным представлениями,

и

функция и имеет вид произведения:

Чтобы найти фурье-образ этой функции, разложим экспоненту, фигурирующую в формуле (76.2), по сферическим гармоникам, которые, очевидно, будут функциями угла у, образованного вектором и вектором (см. задачу 81). Это разложение имеет вид

С помощью теоремы сложения сферических гармоник функцию можно выразить через сферические углы вектора и сферические углы в, вектора

Подставляя теперь формулу (76.5) в правую часть формулы (76.4), а затем полученный результат и выражение (76.3) в интеграл (76.2), получаем

Интегрирование по направлениям вектора можно выполнить с помощью формулы

В результате от двойной суммы у нас останется только один член с индексами и мы получаем

Таким образом, волновая функция в пространстве импульсов может быть представлена в виде произведения

где

Мы видим, что радиальные части волновых функций связаны между собой преобразованием Ханкеля. Преобразование, обратное преобразованию (76.7), записывается в виде

Если в координатном пространстве волновая функция и нормирована так, что допускается ее обычная вероятностная интерпретация, т. е.

то подстановка выражения (76.8) в формулу (76.9) даст

Выполняя здесь сначала интегрирование по и учитывая, что

получаем

Таким образом, в пространстве импульсов правомерна та же самая вероятностная интерпретация: в рассматриваемом квантовом состоянии абсолютное значение импульса частицы будет обнаружено в интервале между с вероятностью

1
Оглавление
email@scask.ru