Задача 82. Разложение амплитуды рассеяния по парциальным волнам
Пусть внутри сферы радиуса 
имеется потенциал 
и пусть вне этой сферы потенциал равен нулю. В этом потенциальном поле рассеивается пучок частиц, описываемый плоской волной. Воспользовавшись разложением в ряд по парциальным волнам, вычислить амплитуду рассеяния и выразить ее затем через значения логарифмических производных парциальных волн на сфере 
Решение. В области 
волновую функцию можно записать в виде
где
Граничные условия определяют функции 
с точностью до постоянной амплитуды, но логарифмические производные,
от этой постоянной амплитуды не зависят. Ниже предполагается, что величины 
известны.
Вне сферы 
можно написать
Если бы все 
это выражение совпадало бы с разложением плоской волны из задачи 81; члены, пропорциональные сферическим функциям Ханкеля первого рода, соответствуют наличию дополнительных расходящихся сферических волн. Действительно,
Вспомнив далее асимптотическое поведение функций 
находим, что на больших расстояниях разложение (82.4) для и ведет себя как
Основываясь на законе сохранения числа частиц при упругом рассеянии, можно заключить, что квадраты модулей амплитуд сходящихся и расходящихся волн должны совпадать, а именно
Другими словами, должно выполняться равенство
с учетом которого разложение (82.6) можно записать в более компактной форме
где величины 
как очевидно, представляют собой асимптотический сдвиг фаз решения уравнения (82.2) по отношению к решению (82.56) уравнения Шредингера для свободного движения.
Амплитуда рассеяния 
связана с рассеянной волной 
соотношением
поэтому
С учетом равенства (82.8) эту формулу можно записать несколько иначе:
Теперь нам осталось выразить коэффициенты 
через логарифмические производные 
определенные посредством формулы (82.3). Последняя задача решается с помощью условий непрерывности функций и 
на поверхности сферы 
Мы имеем
Здесь штрих означает производную не по 
а по 
Деля второе из приведенных соотношений на первое, имеем
и отсюда находим
Разумеется, полученное выражение опять удовлетворяет закону сохранения числа частиц (82.7). В этом нетрудно убедиться, введя сферические функции Ханкеля второго рода и исключив функции 
с помощью соотношения
если учесть, что при действительных значениях аргумента функции 
комплексно сопряжены с функциями Щи 
Действительно, в соотношении
числитель дроби комплексно сопряжен с ее знаменателем, поэтому 
в полном согласии с равенством (82.7).
