Главная > Задачи по квантовой механике. Том 1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Задача 128. Парамагнитная и диамагнитная восприимчивости без учета спина

Вычислить парамагнитную и диамагнитную восприимчивости на один связанный электрон, находящийся в центральном поле. Спин электрона не учитывать.

Решение. Пусть на рассматриваемый атомный электрон, движение которого описывается гамильтонианом дополнительно действует магнитное поле Выбирая калибровку, при которой дивергенция вектор-потенциала обращается в нуль, получаем

Чтобы удовлетворить условию калибровки, положим

тогда

или

Магнитная энергия в состоянии (посредством обозначена вся совокупность квантовых чисел, характеризующих одноэлектронное состояние) с точностью до членов второго порядка равна

Пусть далее все атомы вещества находятся в основном состоянии (такое предположение действительно разумно, так как

энергия возбуждения, как правило, составляет несколько электрон-вольт, что значительно больше тепловой энергии). Допустим, что в этом основном состоянии рассматриваемый электрон обладает орбитальным моментом следовательно, может иметь различные значения проекции момента на направление магнитного поля. В этом случае первый член формулы (128.4) даст в магнитную энергию (отнесенную к одному электрону) вклад вида

В состоянии теплового равновесия число электронов с проекцией момента пропорционально, согласно Больцману, поэтому средняя магнитная энергия, приходящаяся на один электрон, будет равна

где

Безразмерная величина а для всех разумных значений напряженности поля значительно меньше единицы, и фигурирующие выше экспоненты можно разложить в ряд. Таким образом, имеем

Все эти суммы симметричны относительно поэтому суммы, содержащие нечетные степени обращаются в нуль, и мы можем написать

причем здесь мы опустили члены порядка и выше. Отсюда для плотности магнитной энергии получаем

где число электронов с моментом Следует заметить, что плотность энергии пропорциональна квадрату

напряженности поля, хотя исходная энергия зависела от поля линейно.

Второй член формулы (128.4)

оказывается (см. ниже) значительно меньше, чем поэтому он не играет большой роли в тех случаях, когда первый член отличен от нуля. Эти же соображения относятся и к третьему члену формулы (128.4). Таким образом, для всех магнитные свойства вещества определяются первым членом, в случае же эти свойства определяются энергией Так как

то мы можем написать

где означает волновую функцию, соответствующую основному -состоянию, а -среднее значение в этом состоянии. В данном случае необходимость в температурном усреднении отпадает. Первый и третий члены формулы (128.4) в случае -состояния обращаются в нуль, так как поэтому теперь их можно не рассматривать.

Согласно электродинамике Максвелла, изменение поля на приводит к изменению плотности магнитной энергии:

где - так называемая намагниченность, т. е. магнитный дипольный момент вещества, индуцированный полем Предполагается, что она пропорциональна полю

Коэффициент пропорциональности х называется магнитной восприимчивостью. Комбинируя соотношения (128.10) и (128.11), получаем

и, следовательно, плотность магнитной энергии будет равна

Если положительная величина, то мы говорим о парамагнетизме, если отрицательная величина, то — о диамагнетизме.

Макроскопическое выражение (128.12) для плотности магнитной энергии мы должны отождествить либо с выражением (128.7), если либо с умноженным на выражением (128.9), если

В первом случае мы имеем дело с парамагнетизмом, причем

во втором же случае

и, следовательно, мы имеем дело с диамагнетизмом.

Как и следовало ожидать, формула (128.13) совпадает с классической формулой Ланжевена, полученной усреднением по ориентациям постоянного дипольного момента

Диамагнитная восприимчивость значительно меньше парамагнитной восприимчивости, поэтому ее можно не учитывать при рассмотрении парамагнитных веществ. В этом можно убедиться, оценив отношение

Фактически это есть отношение вращательной и тепловой энергий электрона. Первая из них составляет несколько электрон-вольт, вторая по порядку величины равна при комнатной температуре.

1
Оглавление
email@scask.ru