Задача 128. Парамагнитная и диамагнитная восприимчивости без учета спина

Вычислить парамагнитную и диамагнитную восприимчивости на один связанный электрон, находящийся в центральном поле. Спин электрона не учитывать.

Решение. Пусть на рассматриваемый атомный электрон, движение которого описывается гамильтонианом дополнительно действует магнитное поле Выбирая калибровку, при которой дивергенция вектор-потенциала обращается в нуль, получаем

Чтобы удовлетворить условию калибровки, положим

тогда

или

Магнитная энергия в состоянии (посредством обозначена вся совокупность квантовых чисел, характеризующих одноэлектронное состояние) с точностью до членов второго порядка равна

Пусть далее все атомы вещества находятся в основном состоянии (такое предположение действительно разумно, так как

энергия возбуждения, как правило, составляет несколько электрон-вольт, что значительно больше тепловой энергии). Допустим, что в этом основном состоянии рассматриваемый электрон обладает орбитальным моментом следовательно, может иметь различные значения проекции момента на направление магнитного поля. В этом случае первый член формулы (128.4) даст в магнитную энергию (отнесенную к одному электрону) вклад вида

В состоянии теплового равновесия число электронов с проекцией момента пропорционально, согласно Больцману, поэтому средняя магнитная энергия, приходящаяся на один электрон, будет равна

где

Безразмерная величина а для всех разумных значений напряженности поля значительно меньше единицы, и фигурирующие выше экспоненты можно разложить в ряд. Таким образом, имеем

Все эти суммы симметричны относительно поэтому суммы, содержащие нечетные степени обращаются в нуль, и мы можем написать

причем здесь мы опустили члены порядка и выше. Отсюда для плотности магнитной энергии получаем

где число электронов с моментом Следует заметить, что плотность энергии пропорциональна квадрату

напряженности поля, хотя исходная энергия зависела от поля линейно.

Второй член формулы (128.4)

оказывается (см. ниже) значительно меньше, чем поэтому он не играет большой роли в тех случаях, когда первый член отличен от нуля. Эти же соображения относятся и к третьему члену формулы (128.4). Таким образом, для всех магнитные свойства вещества определяются первым членом, в случае же эти свойства определяются энергией Так как

то мы можем написать

где означает волновую функцию, соответствующую основному -состоянию, а -среднее значение в этом состоянии. В данном случае необходимость в температурном усреднении отпадает. Первый и третий члены формулы (128.4) в случае -состояния обращаются в нуль, так как поэтому теперь их можно не рассматривать.

Согласно электродинамике Максвелла, изменение поля на приводит к изменению плотности магнитной энергии:

где - так называемая намагниченность, т. е. магнитный дипольный момент вещества, индуцированный полем Предполагается, что она пропорциональна полю

Коэффициент пропорциональности х называется магнитной восприимчивостью. Комбинируя соотношения (128.10) и (128.11), получаем

и, следовательно, плотность магнитной энергии будет равна

Если положительная величина, то мы говорим о парамагнетизме, если отрицательная величина, то — о диамагнетизме.

Макроскопическое выражение (128.12) для плотности магнитной энергии мы должны отождествить либо с выражением (128.7), если либо с умноженным на выражением (128.9), если

В первом случае мы имеем дело с парамагнетизмом, причем

во втором же случае

и, следовательно, мы имеем дело с диамагнетизмом.

Как и следовало ожидать, формула (128.13) совпадает с классической формулой Ланжевена, полученной усреднением по ориентациям постоянного дипольного момента

Диамагнитная восприимчивость значительно меньше парамагнитной восприимчивости, поэтому ее можно не учитывать при рассмотрении парамагнитных веществ. В этом можно убедиться, оценив отношение

Фактически это есть отношение вращательной и тепловой энергий электрона. Первая из них составляет несколько электрон-вольт, вторая по порядку величины равна при комнатной температуре.