Задача 103. Улучшение сходимости рядов сферических гармоник

Используя рекуррентные соотношения, связывающие соседние полиномы Лежандра, получить вместо ряда

более быстро сходящийся ряд для функции

Решение. Чтобы получить интересующий нас ряд, мы можем воспользоваться рекуррентным соотношением

Это дает

Выделяя здесь первое слагаемое и переобозначая индекс суммирования, находим

где

Теперь, чтобы получить представление о достигнутом улучшении сходимости, положим для больших I

Тогда выражение

при можно разложить следующим образом:

Члены, содержащие 1° и взаимно сокращаются, так что основной член разложения становится равным

и мы, действительно, имеем значительное улучшение сходимости. Замечание. Приведенные формулы еще больше упрощаются, если положить

как это чаще всего и бывает в приложениях. В этом случае получается формула

Литература

(см. скан)