Задача 6. Эрмитово сопряжение

Оператор эрмитово сопряженный с оператором определяется равенством

которое с помощью символики функционального анализа можно записать в виде

Здесь произвольные функции, подчиняющиеся условию нормировки:

Сформулируйте данное определение на языке матричного представления. Что вы можете сказать о собственных значениях эрмитова оператора, определенного равенством

Решение. Матричное представление оператора определяется выбором полного набора ортонормированных функций

Для произвольных нормированных функций имеют место разложения:

Подставляя разложения (6.4) в определение (6.1), получаем

Предполагается, что это равенство справедливо для любой пары функций поэтому оно должно выполняться для каждого слагаемого в отдельности:

Используем теперь полный набор для определения матрицы оператора переписав правую часть равенства (6.5) в виде

Что касается левой части, то ее можно преобразовать следующим образом:

Следовательно, матричные элементы матриц согласно (6.5), должны быть связаны соотношением

Иначе говоря, элементы эрмитово сопряженной матрицы получаются из элементов матрицы с помощью операций транспонирования и комплексного сопряжения.

Стоит отметить, что из соотношения (6.6) мы сразу же получаем

Для эрмитовой (самосопряженной) матрицы , когда по определению мы согласно (6.6) имеем

Диагональные матричные элементы действительны. Последнее утверждение справедливо для любого ортонормированного набора функций (т. е. при любом выборе координатной системы в гильбертовом пространстве). В частности, это справедливо и для такого набора с помощью которого матрица приводится к диагональному виду:

Так как выше суть собственные значения матрицы то отсюда следует, что собственные значения эрмитовой матрицы действительны.

Замечание. Именно в силу этого последнего результата операторы всех физических величин (наблюдаемые) эрмитовы.