Задача 27. Виртуальные уровни

Потенциальная "полость" между точками ограничена справа, как это показано на фиг. 12, полупроницаемой стенкой (см. задачу 20) так, что между волновыми функциями внутри и вне полости существует лишь слабая связь. Показать, что при большом коэффициенте непроницаемости существуют узкие полосы энергии, для которых упомянутая связь становится довольно сильной. Рассмотреть числовой пример

Решение. В данном случае спектр энергии непрерывен и волновые функции, нормированные так, чтобы их амплитуда равнялась единице вне полости, имеют вид

Граничные условия на стенке с конечным коэффициентом непроницаемости согласно задаче 20, выглядят следующим образом:

Фиг. 12. Потенциальная полость, ограниченная полупроницаемой стенкой.

Для функций (27.1) это дает

Эти два соотношения определяют фазовый угол

и амплитуду А волновой функции внутри полости:

или

В случае непроницаемой стенки амплитуда А обращается в нуль: колебания, имеющиеся снаружи, не могут проникнуть внутрь полости — она оказывается совершенно не связанной с внешним пространством. Однако при больших, но конечных значениях допустимо появление малых амплитуд Если же значения тригонометрических функций в формуле (27.4) близки к нулю, то не исключено появление даже весьма больших амплитуд.

Пусть произведение велико по сравнению с тогда полному периоду изменения тригонометрических функций будет соответствовать такой интервал изменения переменной в котором отношение будет оставаться почти постоянным. В таком случае максимальные и минимальные значения величины с разумной степенью точности можно найти, дифференцируя выражение (27.4а) по переменной при условии

Таким образом, имеем

Обозначая решения уравнения (27.5) через и полагая

получаем

где — целое число, и, следовательно,

Подставляя эти выражения в равенство (27.4а), для экстремальных значений величины находим при четных

а при нечетных

Так как то последние выражения можно разложить по степеням

и

Выше отброшены все члены, имеющие порядок

Таким образом, при четных значениях т. е. при значениях произведения близких целым кратным мы имеем максимальные амплитуды:

а при нечетных т. е. для значений близких полуцелым кратным минимальные амплитуды:

Следовательно, заметная связь внешнего пространства и полости имеет место лишь при тех значениях энергии, которые близки

к энергиям, обеспечивающим выполнение соотношения только в этом случае наружная волна проникает заметным образом сквозь потенциальный барьер. С классической точки зрения это означает существование резонансных частот, при которых воздействие извне способно возбудить собственные колебания полости.

Согласно соотношению (27.7), резонансы имеют место, если произведение лишь незначительно отличается от где целое число, т. е. для тех значений при которых волновая функция внутри полости, определяемая формулой (27.1), весьма близка к собственной функции в случае непроницаемой стенки

Фиг. 13. Резонансный уровень. Зависимость амплитуды волновой функции от энергии.

Следовательно, резонансные уровни располагаются вблизи собственных значений энергии полости при По этой причине их называют виртуальными уровнями.

На фиг. 13 показано поведение амплитуды А при изменении произведения от до а численное значение величины взято равным В этом случае , и нетрудно видеть, что амплитуда А, как правило, имеет такой же порядок. Исключение представляет очень узкая область, расположенная немного левее точки где ее поведение носит типично резонансный характер. Разлагая величину в степенной ряд вблизи резонансной энергии, определяемой соотношением

приближенно получаем

Таким образом, ширина резонанса по порядку величины равна

Нам осталось обсудить поведение фазового угла, определяемого соотношением (27.3). Несложные тригонометрические

преобразования дают

Если отношение велико, то мы, как правило, можем пренебречь единицей в знаменателе, так что выражение (27.14) становится не зависящим от :

Это снова соответствует случаю непроницаемой стенки с волновой функцией

при Такое приближение неприменимо лишь для тех значений которые близки к корням уравнения

Имеется два типа решений уравнения (27.15): когда немного больше и когда немного меньше . В первом случае числитель близок к 2 и почти постоянен. Но тогда обращается в бесконечность, т. е. становится полуцелым кратным для определенности, скажем, В этой области фазовая кривая имеет постоянный наклон и в ее поведении не наблюдается сколько-нибудь существенных особенностей. С другой стороны, если лежит вблизи то числитель равен нулю, причем этот нуль, хотя и лежит вблизи, но не Совпадает с нулем знаменателя, положение которого определяется уравнением (27.15), поэтому внутри очень узкого интервала изменений переменной пробегает значения от бесконечности до нуля, а фазовый угол от до Выше мы видели, что в областях, близких к точкам имеются резонансы, а скачкообразное изменение фазы при прохождении через резонанс является характерной особенностью колебательных систем.

На фиг. 14 показано изменение фазового угла в том же интервале значений который приведен на фиг. 13. Если бы величина была бесконечно большой, то поведение фазового угла описывалось бы пунктирной кривой. При построении этой кривой мы для удобства в точке произвольно добавили скачок фазы, равный что влечет за собой скачкообразное изменение знака волновой функции, который сам по себе, как известно, не имеет физического смысла. Для выбранного нами конечного значения Я поведение фазового угла показано на фиг. 14 сплошной кривой. Согласно этой кривой, для последовательных значений энергии мы получаем набор волновых функций, которые по фазе не слишком отличаются от волновых

функций, соответствующих непроницаемой стенке, но которые тем не менее непрерывным образом переходят друг в друга при прохождении через резонансное значение энергии, так что в этом случае скачок фазы приобретает реальное значение.

Фиг. 14. Резонансный уровень. Зависимость фазового угла от энергии.