Задача 49. Момент количества движения и оператор Лапласа
Записать оператор
в сферических координатах. Полученное выражение сравнить с оператором Лапласа и с оператором кинетической энергии.
Решение. Используя операторы
определенные формулами (48.10а) и (48.106), можно написать
Произведение
равно
Учитывая перестановочное соотношение
позволяющее исключить экспоненту, и принимая во внимание, что
приходим к выражению
Аналогичным образом можно найти и оператор
от только что найденного соответствующее выражение отличается знаком последнего члена. Таким образом, формула (49.1) теперь дает
или
В этой последней записи выражение, стоящее в квадратных скобках, совпадает с выражением для угловой части оператора Лапласа, поэтому можно написать
Как известно из классической механики, кинетическую энергию частицы можно представить в виде
Так как ей соответствует квантовомеханический оператор
то равенство (49.4) приводит к соотношению
которое показывает, что оператор
с точностью до множителя совпадает с радиальной частью оператора Лапласа. Оператор же, соответствующий классическому радиальному импульсу
теперь получается из выражения (49.5) путем факторизации:
В самом деле, последнее выражение, будучи применено дважды, дает правую часть равенства (49.5). Можно показать, что оператор
эрмитов (см. задачу 59) и что он и координата
удовлетворяют каноническим перестановочным соотношениям.