Задача 39. Модифицированная потенциальная яма Пешля—Теллера

Решить одномерное уравнение Шредингера с потенциалом (фиг. 24)

где Для положительных энергий определить коэффициент отражения и коэффициент прохождения, для отрицательных — энергетические уровни связанных состояний.

Фиг. 24. Потенциальная яма в случае модифицированного потенциала Пешля-Теллера.

Решение. Перейдем в уравнении Шредингера

где к новой переменной

Это дает

После подстановки

последнее уравнение приводится к гипергеометрическому уравнению

Вводя обозначения

можно записать общее решение уравнения (39.5) в виде

так что при или волновая функция будет стремиться к выражению

В качестве фундаментальной системы решений выберем два действительных стандартных решения и соответственно, четное и нечетное по отношению к изменению знака переменной

При получаем стандартное четное решение

а при - стандартное нечетное решение

Свойства этих решений мы подробно обсудим ниже.

Для ответа на вопросы задачи нам прежде всего необходимо выяснить асимптотическое поведение решений (39.10а) и (39.106) при больших отрицательных значениях аргумента:

Хорошо известные формулы дают

и

где знаки — относятся соответственно к случаям Если энергия положительна, то в силу равенства (39.6) а и - комплексно сопряженные величины, поэтому

и

Вводя обозначения

и

можно записать последние выражения в более компактном виде

Фигурирующие здесь амплитуды можно было бы вычислить с помощью соотношений (39.12а) и (39.126), однако их конкретные значения для дальнейшего несущественны.

Образуем теперь линейную комбинацию рассмотренных выше фундаментальных решений:

так что для случаев соответственно будем иметь

и

Нас интересует решение с асимптотикой

Следовательно, в нашем случае должно быть

Из второго и четвертого уравнений можно определить произведения а затем из первого и третьего — амплитуды

Зная амплитуды для коэффициентов прохождения и отражения, получаем соответственно выражения

и

Эти выражения удовлетворяют соотношению

и зависят только от разности фазовых углов собственных функций, но не зависят от их нормировки.

Чтобы вычислить коэффициенты (39.17) и (39.18), вернемся к соотношениям (39.13), из которых следует

где

Из общей формулы

вытекает

Полагая далее

и

имеем

Теперь с помощью формулы (39.20) можно объединить соответствующие пары аргументов, фигурирующие в выражении (39.19), что в итоге даст

Последнее выражение после элементарных преобразований принимает вид

Если параметр К, характеризующий глубину ямы, является целым числом, то знаменатель дроби обращается в нуль, так что и в силу соотношений и (39.18) имеем . В этом случае волна, соответствующая падающей частице, независимо от ее энергии проходит через область, занятую ямой, совершенно не отражаясь (заметим, что при этот результат самоочевиден). В предельном случае (т.е. ) в выражении (39.21) обращается в нуль числитель, поэтому для нецелых значений Я разность и мы имеем дело с полным отражением:

Коэффициенты при произвольных значениях к можно записать в виде

где

На фиг. 25 показана зависимость коэффициента отражения от глубины потенциальной ямы для двух энергий, соответствующих значениям Эта же картина повторяется и в любом другом интервале где целое число.

Фиг. 25. Зависимость коэффициента отражения от глубины потенциальной ямы для двух значений энергии.

Связанные состояния. При отрицательных энергиях существуют дискретные собственные значения. В этом случае можно положить так что энергия будет равна

а параметры (39.6)

будут действительными величинами. Снова можно воспользоваться асимптотическими формулами (39.11а) и (39.116), однако теперь в этих формулах первое и второе слагаемые ведут себя соответственно как При существование нормируемых решений возможно лишь в том случае, когда фигурирующий в первом слагаемом множитель обращается в нуль. Теперь все аргументы -функций действительны, а их полюсы расположены в точках, соответствующих целым отрицательным числам поэтому собственные значения находятся из соотношений: в случае четных состояний

или

а в случае нечетных состояний

или

Отсюда после очевидных изменений в обозначениях для уравнений энергии получаем

При четных эта формула дает уровни четных состояний, а при нечетных уровни нечетных состояний. На фиг. 26 показана зависимость энергии связанных состояний от размера потенциальной ямы. Следует отметить, что при целом А, всегда имеется один связанный уровень с нулевой энергией.

Фиг. 26. Зависимость энергии связанных состояний от размера модифицированных потенциальных ям Пешля-Теллера. Пунктирная линия характеризует глубину потенциальной ямы.