Задача 33. Гармонический осциллятор в матричном представлении
Получить матрицы 
для импульса 
и координаты х гармонического осциллятора, определяемого гамильтонианом
в представлении, где оператор 
диагонален. Чему равны соответствующие собственные значения?
Решение. Отправной точкой для нас послужит диагональность гамильтониана
где 
— собственные значения. Кроме того, у нас имеются (см. задачу 8) соотношения
которые в матричных обозначениях с учетом равенств 
можно записать следующим образом:
С помощью формулы (33.2) они легко приводятся к виду
Эта система однородных уравнений относительно 
будет совместной, если исчезают оба матричных элемента или
если ее определитель равен нулю; в последнем случае
Упорядочив собственные значения в соответствии с неравенствами
мы получаем, что разность двух последовательных собственных значений равна Тип и что
где 
постоянная, общая для всех собственных значений. Но тогда единственными, не равными нулю матричными элементами будут элементы 
которые в силу (33.4) должны удовлетворять соотношению
Теперь попытаемся получить более подробную информацию о нашем гамильтониане. Начнем с матриц 
Согласно соотношению (33.7), имеем
где только при 
левая часть не обращается в нуль. Аналогичное соотношение имеет место и для матричных элементов 
Подставляя их в формулу (33.2), для недиагональных элементов гамильтониана получаем
То же самое справедливо и для матричных элементов 
что полностью согласуется с фактом диагональности оператора 
послужившим основой вывода уравнений (33.4). Что касается диагональных матричных элементов, то они имеют вид
Согласно соотношению (33.7), слагаемые в правой части равны между собой, поэтому
Равенства (33.8) и (33.6) устанавливают соотношение между матричными элементами оператора х. Учет эрмитовости оператора х дает еще одно соотношение
Таким образом, получаем
Вводя обозначение
последнее уравнение можно записать в виде
Решением этого функционального уравнения является функция
в чем нетрудно убедиться, представив 
в виде ряда по степеням 
Из соотношения (33.11) далее следует
Теперь у нас есть все необходимое, чтобы определить постоянную 
Правая часть равенства (33.10) не может быть отрицательной, следовательно, не отрицательно и собственное значение, стоящее в левой части этого равенства. Предположим, что 
есть наименьшее значение 
тогда матричный элемент
должен обратиться в нуль. Не будь этого, равенство (33.10) можно было бы использовать в качестве рекуррентного соотношения для вычисления матричных элементов 
вплоть до 
что противоречило бы неравенству 
Приравняв нулю матричный элемент (33.14), находим искомую постоянную 
а тем самым и собственные значения (83.6),
так же, как и матричные элементы х, которые, согласно (33.9) и (33.13), равны
