II. Одночастичные задачи без учета спина

А. Одномерные задачи

Одномерные задачи, будучи в известном смысле чрезмерной идеализацией, тем не менее могут быть использованы для выяснения основных особенностей квантовой механики. Эти задачи возникают при рассмотрении трехмерного волнового уравнения

в котором потенциал зависит от одной-единственной декартовой координаты х. С помощью факторизации

получаем

Последнее уравнение можно еще более упростить, положив

В результате мы приходим к одномерному волновому уравнению

Экспоненциальные множители в формулах и описывают распространяющиеся перпендикулярно оси х плоские волны, которые не влияют на поведение волновой функции в направлении оси х.

Задача 16. Фундаментальные решения в случае свободного движения

Решить одномерное волновое уравнение в случае Обсудить физический смысл полученных решений.

Решение. Волновое уравнение

допускает разделение переменных:

так как при подстановке выражения (16.2) в уравнение (16.1) получаем

где через Да» обозначена постоянная разделения. Разбивая (16.3) на два отдельных уравнения, находим

и

Если — действительная величина, то волновая функция будет периодической и не будет зависеть от времени (стационарное состояние). Если — положительная величина, то

также положительная величина, поэтому решение (16.5) будет, кроме того, периодической функцией пространственной переменной х.

Комплексная форма (16.4) зависимости волновой функции от времени составляет примечательную особенность квантовой механики: действительные функции не являются решениями дифференциального уравнения (16.4). Это столь разительное отличие от классической физики обусловлено тем, что уравнение Шредингера является уравнением первого порядка по времени.

Физический смысл параметра со можно выяснить, рассматривая оператор в левой части уравнения (16.1) в качестве оператора Гамильтона, который в данном случае состоит из одного оператора кинетической энергии. Отсюда следует, что величина представляет собой кинетическую энергию частицы и, таким образом, должна быть положительна, а наше решение есть собственная функция гамильтониана.

Так как — положительная постоянная, общее решение уравнения (16.5) или уравнения

имеет вид

поэтому одномерная волновая функция

состоит из двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях. У обеих волн фазовая скорость равна

Физический смысл пространственной части волновой функции (16.8а) станет ясен, если записать в явном виде выражения для плотности

и для потока

Согласно (16.86), мы имеем

Две волны с амплитудами соответствуют, как видно, двум противоположно направленным потокам, интенсивность которых определяется относительными нормировочнмми постоянными волн и пропорциональна Выражение для плотности указывает на наличие интерференции двух (когерентных) волн, обусловливающей пространственную периодичность.

Когда нет особых причин (например, граничных условий) добиваться когерентности, разумно рассматривать каждую волну отдельно, полагая либо что дает либо что дает . В результате получается прямолинейное движение частицы либо в том, либо в другом направлении. Считая, что величина может быть обоих знаков, можно резюмировать наши результаты следующим образом:

Исключая находим

поэтому импульс частицы и ее классическая скорость соответственно равны

и

Последняя совпадает отнюдь не с фазовой

а с групповой скоростью волны

Замечание. Основное дифференциальное уравнение (16.1) можно рассматривать как уравнение диффузии с мнимым коэффициентом диффузии

Так как разделение переменных играет важную роль в квантовой теории, а не в теории диффузии, то решения, типичные для задач диффузии (с действительным коэффициентом

не находят применения в квантовом случае.

Обращение времени в уравнении (16.1) ведет к замене на