Задача 91. Дейтронный потенциал с жесткой сердцевиной и без нее

Используя условие существования связанного состояния так подобрать глубину сферически симметричной прямоугольной потенциальной ямы радиуса (фиг. 53), чтобы у дейтрона было одно связанное состояние с энергией Радиус ямы взять равным ферми (1 ферми ). Чему будет равна глубина потенциальной ямы, если вблизи центра имеется жесткая сердцевина радиуса ферми?

Решение. При положительных энергиях волновая функция, -состояния, удовлетворяющая граничному условию имеет вид

требование непрерывности логарифмической производной в точке дает

где

Фиг. 53. Дейтронный модельный потенциал с жесткой сердцевиной и без нее. Вырезая жесткую сердцевину, мы должны сделать яму глубже, если намерены сохранить энергию связи неизменной.

Для связанного состояния с отрицательной энергией следует положить

тогда энергия будет равна

где приведенная масса пары нуклонов см. задачу 150). Вместо энергии можно ввести характеристическую длину

и отсюда

В задаче 90 мы показали, что для существования связанного состояния должно выполняться условие

то тогда, как очевидно, должно выполняться и условие

поэтому равенство (91.1) дает

Так как в правой части этого равенства стоит знак минус, то аргумент котангенса должен иметь значение в интервале между

Если же принять во внимание, что величина мала, то можно заключить, что оно довольно близко к Таким образом, можно написать

Нам нужно определить глубину потенциальной ямы, т. е. значение параметра в предположении, что величина задана равенством (91.56). С этой целью мы сначала вычислим величину подставим X из (91.7) в равенство (91.6) и произведем там разложение по степеням и В результате получим

Подставив теперь полученное выражение в соотношение

будем иметь

Обсудим полученный результат. Если жесткая сердцевина отсутствует, то должно быть чуть больше Будь энергия связи была бы равна нулю но так как связь несколько сильнее то и яма несколько глубже. При наличии жесткой сердцевины это предельное значение параметра сдвигается и становится равным в этом случае, чтобы сохранить энергию связи неизменной, потенциальная яма должна быть глубже, чем в отсутствие жесткой сердцевины.

Для значения мы в соответствии с формулой (91.9) получаем

где глубина потенциальной ямы. Если жесткой сердцевины нет то отсюда При наличии жесткой сердцевины радиуса ферми мы имеем На фиг. 53 оба потенциала изображены в соответствии с этими числовыми результатами.