Решение. При положительных энергиях волновая функция,
-состояния, удовлетворяющая граничному условию
имеет вид
требование непрерывности логарифмической производной в точке
дает
где
Фиг. 53. Дейтронный модельный потенциал с жесткой сердцевиной и без нее. Вырезая жесткую сердцевину, мы должны сделать яму глубже, если намерены сохранить энергию связи неизменной.
Для связанного состояния с отрицательной энергией следует положить
тогда энергия будет равна
где
приведенная масса пары нуклонов
см. задачу 150). Вместо энергии
можно ввести характеристическую длину
и отсюда
В задаче 90 мы показали, что для существования связанного состояния должно выполняться условие
то тогда, как очевидно, должно выполняться и условие
поэтому равенство (91.1) дает
Так как в правой части этого равенства стоит знак минус, то аргумент котангенса должен иметь значение в интервале между
Если же принять во внимание, что величина
мала, то можно заключить, что оно довольно близко к
Таким образом, можно написать
Нам нужно определить глубину потенциальной ямы, т. е. значение параметра
в предположении, что величина
задана равенством (91.56). С этой целью мы сначала вычислим величину
подставим X из (91.7) в равенство (91.6) и произведем там разложение по степеням
и В результате получим
Подставив теперь полученное выражение в соотношение
будем иметь
Обсудим полученный результат. Если жесткая сердцевина отсутствует, то
должно быть чуть больше
Будь
энергия связи была бы равна нулю
но так как связь несколько сильнее
то и яма несколько глубже. При наличии жесткой сердцевины это предельное значение параметра
сдвигается и становится равным
в этом случае, чтобы сохранить энергию связи неизменной, потенциальная яма должна быть глубже, чем в отсутствие жесткой сердцевины.
Для значения
мы в соответствии с формулой (91.9) получаем
где
глубина потенциальной ямы. Если жесткой сердцевины нет
то отсюда
При наличии жесткой сердцевины радиуса
ферми
мы имеем
На фиг. 53 оба потенциала изображены в соответствии с этими числовыми результатами.