Задача 99. Длина рассеяния потенциала, имеющего вид степенной функции
Определить длину рассеяния потенциала, описываемого формулой
а) путем точного интегрирования уравнения Шредингера при 
б) путем решения линеаризованного уравнения Калоджеро.
Решение
а. Радиальное уравнение Шредингера для случая 
имеет вид
Решением этого уравнения, удовлетворяющим граничному условию 
является функция
где 
означает модифицированную функцию Ханкеля
асимптотика которой при 
имеет вид
Когда значения переменной х очень малы, аргумент функции К в (99.3) становится большим и мы можем воспользоваться формулой (99.5). В результате имеем
Функция 
очевидно, удовлетворяет граничному условию
С другой стороны, если значения х велики и значения z малы, то мы можем воспользоваться степенными разложениями функций 
что с учетом равенства (99.4) дает
Чтобы получить асимптотическую формулу для функции 
больших значениях 
мы оставим у каждого слагаемого в фигурных скобках только главный член разложения. В результате имеем
Последнее выражение представляет собой линейную функцию переменной х, и его можно записать в виде
где а по определению есть длина рассеяния (см. задачу 88). Сравнивая выражения (99.6) и (99.7), получаем
б. С помощью линеаризации уравнения Калоджеро мы нашли [см. соотношение (98.4)]
кроме того, для случая асимптотического поведения при 
имеем
Сравнивая это выражение с равенством (99.7), мы приходим к формуле, определяющей длину рассеяния через фазу рассеяния:
Подставляя сюда выражение (99.9) и используя в качестве безразмерных переменных интегрирования величины 
получаем следующее приближенное выражение для длины рассеяния:
Показатель экспоненты легко вычисляется и равен 
а оставшийся интеграл с помощью подстановки
сводится к интегралу Эйлера, так что окончательно имеем
Это приближенное выражение можно сравнить с точной формулой (99.8). В обоих случаях длина рассеяния одинаковым образом зависит от безразмерной константы взаимодействия 
а отношение приближенного и точного выражений
представляет собой функцию X, т. е. зависит только от показателя 
в выражении для потенциала. О качестве приближения (99.11) можно судить по приведенной таблице:
(см. скан)
Мы видим, что при 
отклонение отсутствует, затем ошибка возрастает и становится равной 50% в случае жесткой сферы 
