Задача 107. Рассеяние на экспоненциальном потенциале

В первом борновском приближении определить амплитуду рассеяния на потенциале вида

В этом же приближении найти фазы рассеяния обусловленные вкладом состояний . С помощью метода,

развитого в задаче 96, вычислить фазу рассеяния во втором борновском приближении и результат расчета сравнить с полученным ранее.

Решение. В первом борновском приближении амплитуда рассеяния имеет следующий вид:

Вводя безразмерные величины

и используя в качестве переменной интегрирования величину амплитуде рассеяния можно придать следующую форму:

Последний интеграл вычисляется элементарно, и окончательный результат имеет вид

или

Для амплитуды такого вида нетрудно рассчитать и полное сечение рассеяния:

Этот интеграл также вычисляется элементарно, и в результате получаем

Наше приближение, разумеется, не улавливает ни резонансных эффектов, ни зависимости от знака величины (случай притяжения и случай отталкивания). Так как формула (107.6) относится к области высоких энергий, то и ее можно еще более упростить:

Мы видим, что с ростом энергии сечение убывает как Перейдем теперь к вычислению фаз рассеяния в первом борновском приближении. Как мы знаем, имеет место разложение

и, следовательно,

Подставляя сюда вместо ( выражение (107.5), мы после несложных вычислений, в частности, получаем

и

Левые части этих равенств можно записать в виде

причем последнее выражение можно заменить на если фаза рассеяния мала. Зависимость фаз рассеяния 80 и 8 измеренных в единицах от величины показана на фиг. 58.

Фиг. 58. Бориовские фазы рассеяния на экспоненциальном потенциале. параметр, характеризующий размер ямы. По оси абсцисс отложен энергетический параметр в логарифмическом масштабе.

На фигуре отчетливо видно, что для небольших значений величины выполняется условие которое означает, что -рассеянием можно пренебречь по сравнению с -рассеянием. Интересно, что эта типичная для области малых энергий особенность рассеяния правильно отражается борновским приближением, специально приспособленным к области высоких энергий. Если то обе фазы рассеяния оказываются величинами одного порядка и преобладающим становится рассеяние вперед.

Чтобы иметь представление о границах применимости первого борновского приближения, мы с помощью формулы (96.12а)

вычислим фазу рассеяния 80 во втором борновском приближении. Согласно (96.12а), имеем

где

Для потенциала (107.1) с учетом равенств (107.3) отсюда получается

выше мы воспользовались безразмерными величинами в качестве переменных интегрирования. Внутренний интеграл легко вычисляется:

Чтобы найти оставшийся интеграл, тригонометрические функции удобно заменить экспонентами. Дальнейшие выкладки совершенно тривиальны, хотя и несколько громоздки. Окончательный результат имеет вид

Первый член здесь идентичен выражению (107.9), и если второй член в фигурных скобках мал по сравнению с единицей, то можно рассчитывать на хорошую сходимость борновского метода. Таким образом, границы его применимости определяются условием

График функции изображен на фиг. 59, причем в левой и правой половинах фигуры для удобства использованы различные масштабы.

Числовой пример. Пусть параметр характеризующий размер потенциальной ямы, равен 3, и пусть ошибка в амплитуде не привышает (для интенсивности это составляет Тогда условие применимости первого борновского приближения принимает вид

Граничное значение достигается в точке чем и определяется наименьшее значение энергии, для которой мы еще можем пользоваться первым борновским приближением. С помощью фиг. 58 нетрудно установить, что для этого значения энергии фаза рассеяния 60 оказывается примерно равной 21°.

Фиг. 59. График функции

Чтобы первое борновское приближение было хорошим, функция должна быть мала.