Задача 48. Момент количества движения в сферических координатах

Воспользовавшись результатами предыдущей задачи, выразить компоненты оператора момента количества движения через сферические координаты.

Решение. В равенстве (47.5) мы вместо будем писать так что оно запишется в виде

Прежде всего произведем поворот вокруг оси Этому повороту соответствует преобразование Отсюда с помощью разложения в ряд Тейлора получаем

С другой стороны, в соответствии с формулой (48.1) имеем

Сравнение этих выражений дает

Рассмотрим теперь поворот системы координат на угол вокруг оси х. В этом случае по-прежнему будет но оба сферических угла изменятся:

В прямоугольных координатах рассматриваемый поворот, согласно (47.1а) и (47.16), описывается формулами

Так как, с одной стороны,

и

а, с другой стороны,

то из сравнения этих выражений вытекает

Аналогичным образом, сравнивая выражения

и

получаем

что с учетом формулы (48.3) для дает

Используя формулы (48.3) и (48.4), запишем разложение в ряд Тейлора в виде

Из соотношения (48.1) следует

сравнение этих двух выражений дает

Рассмотрим, наконец, поворот системы координат на угол вокруг оси у. Снова обозначим приращения углов через которые теперь имеют иные значения, определяющиеся соотношениями

и

Из формулы (48.66) получаем

а из формулы (48.6а) следует

Таким образом,

но последнее выражение должно согласовываться с соотношением

вытекающим из формулы (48.1), поэтому

Вместо самих компонент (48.5) и (48.9) обычно удобнее пользоваться их комбинациями:

Выражениями (48.2), (48.5) и (48.9) полностью исчерпывается решение поставленной задачи.