Задача 97. Уравнение Калоджеро

Для отношения

где и амплитудные функции, введенные в предыдущей задаче, вывести нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка. Найти приближенное решение этого уравнения, соответствующее второму борновскому приближению.

Решение. Мы показали, что в выражении

амплитудные функции и их производные определяются соотношениями

Дифференцируя равенство (97.1), получаем

где

Следовательно,

Это и есть искомое дифференциальное уравнение для известное как уравнение Калоджеро.

Последовательные борновские приближения нетрудно получить, заменив опять на и разложив затем функцию в ряд по степеням Мы имеем

Приравнивая теперь в уравнении (97.4) члены одинакового порядка малости, находим

и т. д. Каждое последующее уравнение этой цепочки допускает решение в квадратурах.

Уравнение (97.6а) соответствует первому борцовскому приближению, и его решение имеет вид

так что для фазы рассеяния в этом приближении получается формула

Во втором борновском приближении поэтому с учетом уравнений (97.6а) и (97.66) имеем

и, следовательно,

в полном согласии с формулой (96.126) предыдущей задачи.