Задача 126. Плотность тока в присутствии магнитного поля
Вывести формулу для плотности тока в случае уравнения Шредингера с векторным потенциалом. Доказать, что плотность тока калибровочно инвариантна.
Решение. В задаче 1 был получен закон сохранения вероятности. При выводе этого закона мы исходили из уравнения Шредингера и уравнения, комплексно сопряженного с уравнением Шредингера, и строили с их помощью уравнение непрерывности. В этой задаче мы поступим аналогичным образом и начнем с уравнений
и
Умножая уравнения 
и (126.16) соответственно на 
и вычитая их одно из другого, получаем
Так как далее
и
то левую часть этого уравнения можно представить в виде дивергенции некоторого вектора. Таким образом, сохраняя прежнее определение плотности вероятности
мы приходим к уравнению непрерывности
в котором плотность тока вероятности 
имеет вид
Последняя формула является обобщением формулы (1.6), выведенной ранее для случая 
Выполняя калибровочное преобразование, рассмотренное в предыдущей задаче,
находим
и
Отсюда следует, что плотность тока вероятности (126.4) калибровочно инвариантна. Очевидно, что определяемая равенством (126.2) плотность вероятности 
также калибровочно инвариантна, следовательно, этим же свойством обладает и сам закон сохранения.
