Г. Сферически симметричные потенциалы

а. Связанные состояния

Чтобы решить уравнение Шредингера в случае сферически симметричного потенциала, зависящего только от (центральные силы), целесообразно с помощью формул

ввести сферические координаты (фиг. 33). Ось называется полярной осью, —угол между полярной осью и радиус-вектором а угол характеризует поворот вокруг полярной оси В этих координатах оператор Лапласа имеет вид

где оператор, зависящий только от углов:

В рассматриваемом случае уравнение Шредингера

допускает разделение переменных

Фиг. 33. Сферические координаты.

Функция удовлетворяет радиальному волновому уравнению

а функции удовлетворяют дифференциальному уравнению для сферических гармоник

Величина играет здесь роль постоянной разделения переменных Несингулярные решения существуют лишь в том случае, если -целое число: Для каждого целого существует несингулярных однозначных решений, отвечающих различным значениям .

В нижеследующих задачах мы всегда будем пользоваться нормировкой сферических гармоник в соответствии с условием

Частное решение при будем записывать в виде

Оно зависит только от угла и называется зональной сферической гармоникой. Функция нормирована таким образом, что и представляет собой полином степени I относительно ее называют полиномом Лежандра.

В сферических координатах компоненты оператора момента количества движения частицы имеют вид

Оператор квадрата момента количества движения

выражается в сферических координатах следующим образом:

Если воспользоваться сокращенным обозначением последнюю формулу можно записать короче:

Как следует из уравнения функции являются собственными функциями оператора квадрата момента количества движения принадлежащими собственным значениям Так как зависимость функций от угла имеет вид то из равенства следует, что есть собственная функция оператора принадлежащая собственному значению где Эти два свойства волновых функций частицы в поле с центральной симметрией являются применительно к квантовой механике своеобразным отражением классического закона сохранения момента количества движения.

Равенства и разумеется, можно получить с помощью преобразования координат Однако этот прямой путь оказывается довольно громоздким. Более изящный метод, использующий связь между оператором момента количества движения и бесконечно малыми поворотами системы координат, был изложен в задачах 47—49.

Математические детали, касающиеся сферических гармоник, приведены в приложении, том 2, стр. 296.