10.7. ЭЛЛИПСОИД НАПРЯЖЕНИЙ

Направим оси координат х, у, z по нормалям соответственно к первой, второй и третьей главным площадкам. В этом случае на площадках, совпадающих с координатными плоскостями, касательные напряжения равны нулю и действуют только нормальные напряжения Согласно формулам (10.2) в этом случае

Отсюда, учитывая равенство получаем

Уравнение (10.14) показывает, что концы векторов напряжений К на всех площадках, проходящих через данную точку, располагаются на поверхности эллипсоида, полуосями которого являются главные напряжения. Следовательно, главные напряжения суть экстремальные значения напряжений в данной точке; одно из двух крайних главных напряжений, а именно есть наибольшее из всех нормальных напряжений а другое — наименьшее.

Если или то эллипсоид напряжений будет эллипсоидом вращения и все плоскости, проходящие через ось вращения, будут равноправными, т. е. главными. Таким образом, в случае равенства двух главных напряжений в точке будет существовать бесчисленное множество главных площадок и все они будут нормальны к площадке действия главного напряжения, не равного двум другим.

При эллипсоид напряжений обращается в сферу и любая площадка, проходящая через данную точку, будет в этом случае главной площадкой.