10.8. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ПЛОЩАДКИ ИХ ДЕЙСТВИЯ

Предположим, что известны главные напряжения и положение главных площадок. Направим оси координат по нормалям к этим площадкам и определим нормальные и касательные напряжения на наклонной площадке, нормаль к которой составляет с выбранными осями углы и у. Поскольку за исходные приняты главные площадки, то Подставляя указанные значения компонентов напряжений в уравнения (10.3), (10.4), и (10.5), находим значения

Определим которых касательные напряжения достигают экстремальных значений.

Из трех переменных определяющих положение искомых площадок, только две являются независимыми, так как они связаны соотношением Воспользуемся этим равенством и исключим из (10.15) одну из переменных, например Подставляя в выражение для касательного напряжения после простых преобразований получим

В этом уравнении I и надо рассматривать как независимые переменные, как функцию этих переменных. Следовательно, для определения положения площадок действия экстремальных надо найти частные производные и и приравнять их нулю.

Получим два уравнения:

Поскольку предполагается, что — эти уравнения можно разделить соответственно на

Получим

Найдем все возможные решения этой системы уравнений. Положим тогда Эти значения определяют положение третьей главной площадки, касательное напряжение на которой равно нулю. Эта площадка нас не интересует, так как искомыми являются площадки, на которых экстремальные значения отличны от нуля.

Остальные возможные решения системы находим, приравнивая нулю один из множителей в каждом уравнении.

Предположим, что Тогда выражение, стоящее в скобках во втором уравнении, должно быть равно нулю:

Отсюда .

Подставляя в равенство находим, что третий направляющий косинус нормали к площадке действия экстремального касательного напряжения Аналогично найдем, что при направляющие косинусы Если бы мы исключили из уравнений (10.15) не а I

Рис. 10.7

или то получили бы еще одно решение, отличное от двух предыдущих, а именно: Все три системы решений приведены в табл. 10.1.

Решение а определяет две ортогональные площадки, перпендикулярные к первой главной площадке, так как . Эти две площадки делят угол между второй и третьей площадками пополам, что следует из равенств (рис. 10.7); касательные напряжения на них находим, подставляя в уравнение откуда

Решение определяет две площадки, перепендикулярные ко второй главной площадке Эти площадки делят пополам угол между первой и третьей площадками, так как (рис. 10.7, б). Касательные напряжения на этих площадках определим, подставив в уравнение

Наконец, третье решение определяет две площадки, перпендикулярные к третьей главной и делящие угол между первой и второй главными площадками пополам (рис. 10.7, в): Касательные напряжения на них

Так как наибольшее из касательных напряжений

Таблица 10.1

Рис. 10.8

в точке равно полуразности крайних главных напряжений и действует на двух площадках, перпендикулярных ко второй главной площадке и составляющих с первой и третьей главными площадками углы 45°.

Касательные напряжения на этих площадках

Отметим, что на площадках с наибольшими касательными напряжениями могут действовать и нормальные напряжения.

Пример. Определить тшах и площадки их действия в точке, напряженное состояние в которой задано напряжениями, как показано на рис. 10.8.

Решение. По условию на площадках, перпендикулярных осям касательные напряжения равны нулю. Следовательно, эти площадки являются главными, причем

Максимальное касательное напряжение в исследуемой точке

и действует на площадках, параллельных оси х и наклоненных к осям под углом 45°. На рис. 10.8 эти площадки заштрихованы.