6.4. ЭПЮРЫ ПЕРЕРЕЗЫВАЮЩИХ СИЛ И ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ

В расчетах балок на прочность и жесткость широко используются эпюры изгибающих моментов и перерезывающих сил представляющие собой графические изображения законов изменения этих внутренних силовых факторов по длине балки.

Общие правила построения эпюр уже известны из теории кручения и растяжения бруса и полностью справедливы в данном случае. Установленные в предыдущем разделе дифференциальные зависимости значительно облегчают построение и исследование эпюр сил и моментов Из соотношений и соответствующих им интегральных зависимостей (6.1) и (6.2) можно сделать следующие выводы.

1. Тангенсы углов наклона к оси эпюры касательных к эпюрам и Мизг по величине равны соответственно значениям ординат эпюр и в тех же сечениях.

2. На участках, где закон изменения интенсивности распределенной нагрузки выражается целой алгебраической функцией, очертанием эпюры является кривая, степень которой на единицу выше степени кривой очертания эпюры а эпюра Мизг ограничена кривой, степень которой на единицу выше степени кривой эпюры или на две единицы выше степени кривой очертания эпюры Следовательно, на тех участках, где нет распределенной нагрузки перерезывающая сила постоянна, а меняется по линейному закону; при равномерно распределенной нагрузке сила изменяется по наклонной прямой, а — по квадратной параболе и т. д.

3. В местах, где к балке приложена сосредоточенная сила, на эпюре будет скачок, равный по величине и знаку этой силе, а на эпюре — перелом.

4. Внешний сосредоточенный момент на характере эпюры не отразится, а ордината эпюры в этом месте изменится скачком, равным по величине и знаку этому моменту.

5. Эпюра всегда обращена выпуклостью навстречу распределенной нагрузке, что следует из соотношения и совпадения правил знаков для изгибающих моментов и кривизны линии очертания эпюры.

Рассмотрим несколько примеров построения эпюр.

Пример. Построить эпюры для двухопорной балки (рис. 6.6). Решение. Построение эпюр в двухопорных балках надо начинать с определения опорных реакций. Направим реакции как показано на рис. 6.6 и составим уравнения равновесия балки

отсюда

отсюда

Определим теперь и в текущих сечениях всех четырех участков, используя уравнения (6.1) и (6.2). Интегралы, входящие в эти формулы, удобно вычислять непосредственно по эпюре так как интеграл численно равен площади эпюры на участке интегрирования, — статическому моменту этой площади относительно оси сечения, т. е. произведению указанной площади эпюра на расстояние ее центра тяжести от рассматриваемого сечения.

Рис. 6,б

Рис. 6.7

Учитывая принятое выше правило знаков для и Мизг, получаем

Для определения знака изгибающего момента в сечении от какой-либо нагрузки удобно поступить так. Мысленно закрепить текущее сечение, удалить опоры и снять с балки все нагрузки, кроме рассматриваемой, и представить характер деформации такой консольной балки от этой нагрузки. Если выпуклость оси балки будет обращена вниз, то а если вверх, то На рис. 6.6 вид изгиба отдельно от распределенной нагрузки и от сосредоточенной силы показан пунктиром.

При вычислении и Мизг трапецию на эпюре разбиваем на прямоугольник и треугольник. Тогда

По этим данным на рис. 6.6 построены эпюры и Для контроля правильности построения этих эпюр воспользуемся сделанными выше выводами из дифференциальных и интегральных зависимостей между . На первом, третьем и четвертом участках эпюры и действительно должны быть ограничены прямыми линиями, так как На втором участке эпюра изменяется по закону наклонной прямой, и поэтому эпюра должна быть ограничена квадратной параболой, а — кубической. На этом же участке эщора монотонно убывая, пересекает ось в точке, абсцисса которой Но согласно условию в этой точке на эпюре должен быть экстремум. Изгибающий момент в этом сечении

Пример. Построить эпюры для консольной балки (рис. 6.7), основываясь лишь на дифференциальных зависимостях между и вычисляя ординаты эпюр только в характерных точках.

Решение. В данном случае нет необходимости в определении опорных реакций, так как эпюры можно строить начиная с правого конца балки.

Рис. 6.8

На первом и втором участках и поэтому эпюра будет ограничена наклонной прямой, проходящей через точки Изгибающий момент на этих участках изменяется по закону квадратной параболы, направленной выпуклостью навстречу стрелкам нагрузки На границе двух участков на эпюре Млвг будет скачок, равный по величине и знаку приложенному в этом сечении внешнему моменту На третьем участке перерезывающая сила постоянна и равна а изгибающий момент изменяется по наклонной прямой от до

На рис. 6.8 построены эпюры Для некоторых простейших случаев нагружения балок, часто встречающихся в дальнейшем, как элементов более сложных задач.