6.7. НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ ТОНКОСТЕННЫХ БАЛОК

Нормальные напряжения при поперечном изгибе тонкостенных балок допустимо вычислять по формуле (6.14) по тем же соображениям, что и для балок сплошного сечения. Однако для определения касательных напряжений нельзя воспользоваться формулой Журавского непосредственно в виде (6.17), так как при ее выводе не принимались во внимание напряжения являющиеся для многих элементов тонкостенных сечений основными составляющими касательных напряжений.

Для тонкостенных сечений эта формула должна быть соответствующим образом видоизменена.

Определим сначала касательные напряжения при поперечном изгибе тонкостенной балки открытого профиля (рис. 6.19).

Вывод уравнения касательных напряжений при изгибе тонкостенных балок, как и при кручении тонкостенных брусьев замкнутого контура (см. разд. 5.6), основан на допущении, что напряжения направлены параллельно касательной к средней линии сечения и по его толщине распределены равномерно.

Пусть требуется определить касательные напряжения в точках нормали средней линии поперечного сечения (см. рис. 6.19). Как и в случае балок сплошного сечения, будем искать равные им по величине напряжения в продольном сечении, содержащем эту нормаль. Выделим элемент бруса длиной указанным продольным и двумя поперечными сечениями (см. рис. 6.19).

По торцевым граням элемента действуют касательные и нормальные силы. Равнодействующие нормальных сил различны по величине и направлению. В продольном сечении действуют только касательные силы, равнодействующая которых равна так как предполагается, что давление между волокнами отсутствует. Все остальные части поверхности элемента совпадают с боковой поверхностью бруса и поэтому свободны от продольных касательных нагрузок. Указанную особенность способа выделения элемента надо всегда иметь в виду для правильного применения формул Журавского как в случае тонкостенных, так и сплошных сечений.

Рис. 6.19

Уравнение равновесия выделенного элемента имеет вид

Отсюда

По внешнему виду уравнения (6.17) и (6.19) одинаковы. По существу же они различны, так как формула (6.19) определяет не составляющую а полное касательное напряжение в точках поперечного сечения. Необходимо помнить, что это уравнение, как и (6.17), справедливо лишь тогда, когда плоскость действия нагрузки перпендикулярна главной центральной оси инерции сечения.

Произведение на толщину сечения называют потоком касательных напряжений показывая тем самым, что распространяются по сечению подобно потоку жидкости в трубопроводе аналогичной формы.

Вектор потока как и напряжения направлен по касательной к средней линии сечения. Изменение величины или вдоль контура сечения изображается эпюрами, ординаты которых откладываются на нормалях к средней линии сечения, а действительные направления и указываются на эпюрах стрелками.

На рис. 6.20 построена эпюра при изгибе тонкостенного двутавра в вертикальной плоскости симметрии. Вследствие симметрии сечения и нагрузки, касательные напряжения в симметричных точках полок двутавра должны быть также симметричны относительно оси у и согласно уравнению (6.19) будут увеличиваться от края к центру по линейному закону:

Вдоль стенки изменяются по параболическому закону

и направлены в ту же сторону, что и сила

Рис. 6.20

Рис. 6.21

Рис. 6.22

Рис. 6.23

Перерезывающая сила направлена вдоль оси у и равна сумме касательных сил, действующих только в сечении стенки двутавра, так как проекции на эту ось касательных сил в полках равны нулю.

При изгибе двутавра в плоскости второй оси симметрии (рис. 6.21) касательные напряжения в стенке равны нулю, а вдоль каждой из полок изменяются по закону

Из приведенных примеров видно, что при изгибе бруса в плоскости симметрии перерезывающая сила совпадает с осью симметрии сечения, а касательные напряжения распределены симметрично относительно этой оси. Если сечение не имеет направленной вдоль оси симметрии стенки (рис. 6.22), то в каждой точке сечения, находящейся на этой оси, вектор касательного напряжения должен быть одновременно направлен в противоположные стороны, что возможно лишь при условии Заключение о равенстве нулю напряжений на оси симметрии подтверждается и расчетами по формуле (6.19). Так, касательные напряжения при изгибе тонкостенной трубы, имеющей в плоскости действия нагрузки тонкий продольный разрез,

обращаются в нуль при т. е. именно в точках на оси симметрии сечения.

На рис. 6.23 приведены эпюры для швеллера и тонкостенного полукольца при изгибе в плоскости симметрии.

Рис. 6.24

Равенство нулю напряжений на оси симметрии позволяет применять формулу (6.19) и для замкнутых симметричных профилей. Для этого достаточно мысленно разрезать сечение на оси симметрии и дальше рассматривать его как открытое. Например, напряжения в полке прямоугольной коробки (рис. 6.24)

Изгиб балок замкнутых несимметричных и многосвязных тонкостенных сечений рассматривается в курсе строительной механики.