18.3. ПРИБЛИЖЕННАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОГИБА БАЛКИ ПРИ ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ
Вычисление прогибов при продольно-поперечном изгибе связано с необходимостью составления и интегрирования дифференциального уравнения упругой линии. Выведем приближенную формулу для прогибов.
Упругую линию балки, подвергнутую одновременному действию продольных и поперечных нагрузок, при малых прогибах можно приближенно представить в виде синусоиды:
где
— число полуволн этой синусоиды на длине балки
Например, для балок, представленных на рис. 18.6, следует применять
для балок
и
для балок
и
для балок
Подставляя вместо
выражение (18.9) в правую часть дифференциального уравнения упругой линии балки (18.3) и интегрируя его дважды, получаем
Учитывая, что
где
— прогиб от одной только поперечной нагрузки, представим это уравнение в виде
Рис. 18.6
Рис. 18.7
Рис. 18.8
Отсюда
Введя обозначение с
получаем приближенную формулу для прогибов при продольнопоперечном изгибе
Величина
представляет собой критическое значение продольной сжимающей силы, называемой эйлеровой силой, где
есть момент инерции сечения балки относительно нейтральной оси, а коэффициент
подбирается по характеру упругой линии рассматриваемой балки. Этот коэффициент, как следует из рис. 18.6, зависит от опорных устройств балки и вида поперечной нагрузки.
Пример. Определить максимальный прогиб для сжато-изогнутой консольной стойки постоянного сечения (рис. 18.7) по приближенной формуле и сравнить с точным его значением при
Установить увеличение максимального прогиба, вызываемое продольной силой
Решение. Перемножая эпюры от поперечной и единичной сил (рис. 18.8), находим максимальный прогиб стойки только от поперечной нагрузки Р:
Применяя для определения наибольшего прогиба стойки от совместного действия сил Р и
формулу (18.10), получаем
где для данной стойки
Полагая
получаем
Таким образом, продольная сила
увеличивает прогиб стойки на
Для сравнения результатов расчета по приближенной формуле с точным решением вычислим максимальный прогиб интегрированием дифференциального-уравнения упругой линии стойки.
В выбранной системе осей
поэтому уравнение (18.3) запишется так:
Общий интеграл этого неоднородного уравнения
Для определения А к В используем краевые условия:
откуда
отсюда
Итак, уравнение для упругой линии стойки имеет следующий вид:
Максимальный прогиб найдем, полагая в этом уравнении
Выразим
через отношение продольной силы
к критическому ее значению для данной стойки:
Если
Таким образом, в пределах точности вычислений приближенная формула дает значение максимального прогиба, совпадающее с точным его значением. При иных условиях закрепления стержня и более сложных поперечных нагрузках совпадение может быть худшим, однако при правильном выборе коэффициента
в выражении для силы
приближенная формула для прогибов дает результаты с точностью, достаточной для практических целей.