18.3. ПРИБЛИЖЕННАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОГИБА БАЛКИ ПРИ ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ

Вычисление прогибов при продольно-поперечном изгибе связано с необходимостью составления и интегрирования дифференциального уравнения упругой линии. Выведем приближенную формулу для прогибов.

Упругую линию балки, подвергнутую одновременному действию продольных и поперечных нагрузок, при малых прогибах можно приближенно представить в виде синусоиды:

где — число полуволн этой синусоиды на длине балки

Например, для балок, представленных на рис. 18.6, следует применять для балок и для балок и для балок

Подставляя вместо выражение (18.9) в правую часть дифференциального уравнения упругой линии балки (18.3) и интегрируя его дважды, получаем

Учитывая, что где — прогиб от одной только поперечной нагрузки, представим это уравнение в виде

Рис. 18.6

Рис. 18.7

Рис. 18.8

Отсюда

Введя обозначение с

получаем приближенную формулу для прогибов при продольнопоперечном изгибе

Величина представляет собой критическое значение продольной сжимающей силы, называемой эйлеровой силой, где есть момент инерции сечения балки относительно нейтральной оси, а коэффициент подбирается по характеру упругой линии рассматриваемой балки. Этот коэффициент, как следует из рис. 18.6, зависит от опорных устройств балки и вида поперечной нагрузки.

Пример. Определить максимальный прогиб для сжато-изогнутой консольной стойки постоянного сечения (рис. 18.7) по приближенной формуле и сравнить с точным его значением при Установить увеличение максимального прогиба, вызываемое продольной силой

Решение. Перемножая эпюры от поперечной и единичной сил (рис. 18.8), находим максимальный прогиб стойки только от поперечной нагрузки Р:

Применяя для определения наибольшего прогиба стойки от совместного действия сил Р и формулу (18.10), получаем

где для данной стойки

Полагая получаем

Таким образом, продольная сила увеличивает прогиб стойки на

Для сравнения результатов расчета по приближенной формуле с точным решением вычислим максимальный прогиб интегрированием дифференциального-уравнения упругой линии стойки.

В выбранной системе осей поэтому уравнение (18.3) запишется так:

Общий интеграл этого неоднородного уравнения

Для определения А к В используем краевые условия: откуда отсюда Итак, уравнение для упругой линии стойки имеет следующий вид:

Максимальный прогиб найдем, полагая в этом уравнении

Выразим через отношение продольной силы к критическому ее значению для данной стойки:

Если

Таким образом, в пределах точности вычислений приближенная формула дает значение максимального прогиба, совпадающее с точным его значением. При иных условиях закрепления стержня и более сложных поперечных нагрузках совпадение может быть худшим, однако при правильном выборе коэффициента в выражении для силы приближенная формула для прогибов дает результаты с точностью, достаточной для практических целей.