4.2. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ СЕЧЕНИЯ

Если рассматривать сечение как горизонтально расположенную пластинку постоянной толщины (см. рис. 4.1), сила тяжести которой численно равна площади сечения то согласно теореме о равенстве сумм моментов составляющих сил моменту равнодействующей для сил тяжести пластинки будут иметь место равенства

Левые части последних выражений представляют собой статические моменты сечения, а координаты определяют точку плоскости сечения, называемую центром тяжести сечения. Следовательно, статические моменты сечения равны произведениям площади сечения на соответствующие координаты его центра тяжести:

Оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются центральными. Относительно любых центральных осей статические моменты сечения равны нулю.

Формулы (4.8) позволяют вычислить статические моменты сечения при известном положении его центра тяжести или определить положение центра тяжести сечения, если найдены его статические моменты. В последнем случае формулы (4.8) записывают так:

а для сложной фигуры, которую можно разбить на простейшие (прямоугольники, треугольники и т. в виде

где — площадь и координаты центра тяжести простой фигуры.

Центр тяжести сечения, имеющего ось симметрии, находится на этой оси.

Пример. Определить положение центра тяжести полукруга (рис. 4.2),

Рис. 4.2

Решение. Направим ось у по оси симметрии полукруга, а ось совместим с его основанием. В этом случае надо определить только координату Подсчитаем непосредственным интегрированием по площади полукруга: Здесь (рис. 4.2) . Следовательно,

Далее по формуле (4.9) находим расстояние центра тяжести от основания полукруга

Пример. Определить центр тяжести тонкостенного полукольца (рис. 4.3). Полукольцо считается тонкостенным, если его толщина мала по сравнению со средним радиусом

Решение. Вследствие симметрии сечения относительно вертикальной оси необходимо определить только координату Выделим двумя радиусами-векторами с углом раствора элементарную площадку находящуюся на расстоянии от оси и подсчитаем статический момент полукольца относительно этой оси

Площадь полукольца Следовательно, ордината центра тяжести

Пример. Определить положение центра тяжести составного сечения (рис. 4.4). Решение. Направим ось по линии, разделяющей сечение на полукруг и треугольник. Определяя статический момент сечения относительно оси суммированием статических моментов полукруга и треугольника и учитывая, что центр тяжести треугольника находится на 1/3 его высоты, получаем

Площадь сечения Центр тяжести сечения находится на оси симметрии сечения на расстоянии

от оси

Рис. 4.3

Рис. 4.4