18.5. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ

В точках поперечных сечений бруса при продольнопоперечном изгибе возникают нормальные напряжения от сжатия продольными силами и от изгиба поперечными и продольными нагрузками (рис. 18.10).

В наружных волокнах балки в опасном сечении суммарные нормальные напряжения имеют наибольшие значения:

В рассмотренном выше примере сжатой балки с одной поперечной силой согласно (18.7) получаем такие напряжения в наружных волокнах:

Если опасное сечение симметрично относительно его нейтральной оси, то наибольшим по абсолютной величине будет напряжение в наружных сжатых волокнах:

В сечении, не симметричном относительно нейтральной оси, наибольшим по абсолютной величине может быть как сжимающее, так и растягивающее напряжение в наружных волокнах.

При установлении опасной точки следует учитывать различие в сопротивлении материала растяжению и сжатию.

Учитывая выражение (18.2), формулу (18.12) можно записать так:

Применяя приближенное выражение для получаем

Рис. 18.10

Опасным в балках постоянного сечения будет то сечение, для которого числитель второго слагаемого имеет наибольшее значение.

Размеры поперечного сечения бруса должны быть подобраны так, чтобы не превышало допускаемого напряжения

Однако полученная зависимость между напряжениями и геометрическими характеристиками сечения сложна для проектировочного расчета; размеры сечения можно подобрать только методом повторных попыток. При продольно-поперечном изгибе проводится, как правило, поверочный расчет, назначение которого установить запас прочности детали.

При продольно-поперечном изгибе между напряжениями и продольными силами нет пропорциональности; напряжения при переменной осевой силе растут быстрее, чем сама сила, что видно, например, из формулы (18.13). Поэтому запас прочности в случае продольно-поперечного изгиба надо определять не по напряжениям, т. е. не из отношения а по нагрузкам, понимая под запасом прочности число, показывающее, во сколько раз надо увеличить действующие нагрузки, чтобы максимальное напряжение в рассчитываемой детали достигло предела текучести.

Определение запаса прочности связано с решением трансцендентных уравнений, так как сила содержится в формулах (18.12) и (18.14) под знаком тригонометрической функции. Например, для балки, сжатой силой и нагруженной одной поперечной силой Р, запас прочности согласно (18.13) находится из уравнения

Для упрощения задачи можно воспользоваться формулой (18.15). Тогда для определения запаса прочности получаем квадратное уравнение:

Заметим, что в случае, когда продольная сила остается постоянной, а изменяются по величине только поперечные нагрузки, задача определения запаса прочности упрощается, и возможно определение не по нагрузке, а по напряжениям. Из формулы (18.15) для этого случая находим

Пример. Двухопорная дюралюминиевая балка двутаврового тонкостенного сечения сжата силой Р и подвергнута действию равномерно распределенной поперечной нагрузки интенсивностью и моментов приложенных на концах

Рис. 18.11

балки, как показано на рис. 18.11. Определить напряжение в опасной точке и максимальный прогиб с учетом и без учета изгибающего действия продольной силы Р, а также найти запас прочности балки по пределу текучести .

В расчетах принять Характеристики двутавра:

Решение. Наиболее нагруженным является среднее сечение балки. Максимальный прогиб и изгибающий момент от одной только поперечной нагрузки:

Максимальный прогиб от совместного действия поперечной нагрузки и продольной силы Р определим по формуле (18.10). Получим

Таким образом, прогиб балки от действия одной только поперечной нагрузки составляет от ее полного прогиба.

Напряжение сжатия в опасной точке среднего сечения балки

Если пренебречь изгибающим действием продольной силы Р, то

что составляет от его полной величины.

Для определения запаса прочности при пропорциональном увеличении всех внешних нагрузок: воспользуемся формулой (18.16):

Подставляя приходим к квадратному уравнению относительно

Наименьший корень этого уравнения определяет запас прочности балки по пределу текучести.