15.3. НАПРЯЖЕНИЯ В ТОНКОСТЕННОМ ВРАЩАЮЩЕМСЯ КОЛЬЦЕ

Рассмотрим случай вращения тонкостенного кольца постоянной угловой скоростью со вокруг оси, перпендикулярной к плоскости кольца (рис. 15.4, а).

При вращении кольца каждый его элемент движется с центростремительным ускорением Силы инерции направлены в сторону, противоположную ускорениям, и при постоянном сечении распределены равномерно вдоль кольца. Интенсивность сил инерции, т. е. сила инерции, приходящаяся на единицу длины кольца, Здесь — плотность материала, — площадь сечения, радиус средней линии кольца.

Кольцо теперь можно рассматривать как неподвижную плоскую раму, нагруженную равномерно распределенными радиальными силами интенсивностью

Рассекая кольцо любой диаметральной плоскостью на две части, приложим в сечениях осевые силы и изгибающие моменты

Рис. 15.4

Проектируя все силы, действующие на полукольцо, на направление оси у, получаем

Отсюда

Подставляя в это выражение значение находим

Для определения неизвестного составим каноническое уравнение коэффициенты которого вычислим способом Мора.

Изгибающий момент в текущем сечении полукольца от силы и распределенной нагрузки (см. рис. 15.4, б)

а от единичной пары

Следовательно, и поэтому т. е. изгибающие моменты во всех поперечных сечениях кольца равны нулю. Этот результат объясняется тем, что при вращении вокруг центра кольцо сохраняет свою форму и никаких изгибных деформаций не испытывает; увеличивается только его диаметр.

Таким образом, нормальные напряжения в поперечном сечении кольца

Например, в стальном кольце радиуса см при об/мин растягивающее напряжение

Рис. 15.5

Рис. 15.6

Итак, напряжения во вращающемся кольце зависят только от окружной скорости и плотности материала, но не зависят от площади его поперечного сечения. Поэтому увеличением размеров сечения нельзя уменьшить напряжения в тонкостенном вращающемся кольце.

Рассмотрим теперь случай равномерного вращения тонкостенного кольца вокруг его горизонтальной оси х.

Различные элементы кольца находятся на разных расстояниях от оси вращения, и поэтому силы инерции распределены неравномерно по длине кольца (рис. Максимальная интенсивность Следовательно,

В сечениях вдоль вертикальной оси симметрии кольца будут действовать только изгибающие моменты а перерезывающие силы и нормальные силы равны нулю. В отсутствии нормальных сил в этих сечениях легко убедиться, спроектировав все силы, действующие на левое или правое полукольцо, на горизонтальную ось симметрии.

Представим эквивалентную систему, как показано на рис. Изгибающий момент в текущем сечении кольца от внешней нагрузки

а от единичной пары

Составим каноническое уравнение Коэффициенты этого уравнения:

Следовательно,

Итак, изгибающий момент в текущем сечении рамы

Эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 15.6. Опасными являются сечения А и В кольца, так как в этих сечениях кроме изгибающих моментов действуют наибольшие растягивающие нормальные силы.

Максимальные напряжения в раме

где — момент сопротивления изгибу, площадь поперечного сечения кольца.