7.2. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕННОМ БРУСЕ МАЛОЙ КРИВИЗНЫ. ИНТЕГРАЛ МОРА

При нагружении пространственного бруса (рис. 7.2) в его поперечных сечениях могут возникнуть одновременно все шесть внутренних силовых факторов: нормальная сила

Рис. 7.1

Рис. 7.2

перерезывающие силы крутящий момент Мн и изгибающие моменты Эти факторы зависят от величины нагрузок и положения сечения и определяются из шести уравнений равновесия отсеченной части бруса (см. разд. 1.11).

Некоторое влияние на распределение напряжений в сечении бруса и его деформации при изгибе оказывает кривизна оси бруса. Однако, как показали исследования, это влияние становится значительным только при отношении радиуса кривизны оси к высоте соответствующего поперечного сечения бруса меньше 5. Такой брус называют брусом большой кривизны, или просто кривым брусом. В стержневых системах элементы типа бруса большой кривизны встречаются крайне редко.

В брусе малой кривизны влияние кривизны оси на напряжения и деформации незначительно, и поэтому расчет таких брусьев на изгиб с достаточной точностью можно производить по формулам для прямого бруса.

Если при определении внутренних силовых факторов в качестве осей у и выбрать главные центральные оси инерции сечения, то напряжения в сечении бруса малой кривизны можно вычислить по формулам

Перейдем к определению перемещений сечений бруса малой кривизны. Определим, например, линейное перемещение центра тяжести сечения С, или, иначе, перемещение точки С оси бруса (рис. 7.2). Так как направление полного перемещения рассматриваемой точки заранее неизвестно, то сначала определим проекцию этого перемещения на некоторое наперед выбранное направление 1—1.

Проекция полного перемещения на заранее выбранное (заданное) направление называется перемещением по заданному

Рис. 7.3

направлению и обозначается Индекс показывает, перемещение какого сечения и в каком направлении ищется, а индекс обозначает причину, вызвавшую это перемещение.

Для определения перемещения точки С оси бруса воспользуемся таким общим законом механики, как принцип возможных перемещений. Применительно к деформируемому телу этот принцип может быть сформулирован так: если система (тело) находится в равновесии под действием приложенных к ней внешних сил, то сумма работ всех внешних и внутренних сил при всяком возможном бесконечно малом перемещении точек этой системы равна нулю.

Возможными называются малые перемещения точек тела, допускаемые связями, которые наложены на это тело. Перемещения точек бруса от заданной внешней нагрузки суть возможные перемещения; они малы и совместны со связями, налагаемыми опорными устройствами.

Рассмотрим два состояния бруса (см. рис. 7.2). Первое состояние определяется заданными внешними нагрузками, а второе — единичной силой, приложенной в направлении искомого перемещения в центре тяжести того сечения, перемещение которого ищется. При определении угла поворота сечения во втором состоянии к брусу прикладывается единичный момент.

Применим к брусу, находящемуся во втором состоянии, принцип возможных перемещений. В качестве возможных примем перемещения точек бруса, вызванные заданной нагрузкой (перемещения в первом состоянии).

По условию единичная сила приложена в направлении перемещения центра тяжести сечения С бруса и своей величины в процессе этого перемещения не меняет. Тогда работа на возможном перемещении внешних сил второго состояния

Реактивные силы работы не производят, так как перемещения точек их приложения равны нулю.

Определим теперь работу внутренних сил второго состояния на перемещениях, которые имеют место в первом состоянии, т. е. при нагружении бруса заданными внешними силами.

Рассмотрим элемент бруса длиной (рис. 7.3). По его граням в первом состоянии действуют изгибающие моменты крутящие моменты нормальные силы перерезывающие силы вызванные заданной нагрузкой, а по граням такого же элемента во втором состоянии — соответственно и от действия единичной нагрузки.

В брусе малой кривизны каждый из внутренних силовых факторов совершает работу на перемещении, вызванном аналогичным

силовым фактором (для бруса большой кривизны это положение несправедливо). Поэтому работу силовых факторов на перемещениях граней элемента, вызванных соответственно факторами можно подсчитать так же, как и потенциальную энергию в случае растяжения, кручения и изгиба прямого бруса (см. разд. 2.17, 5.4, 6.1). Учитывая, что в процессе перемещения граней элемента бруса внутренние силовые факторы от единичной нагрузки не изменяются, получаем

здесь — коэффициенты, учитывающие неравномерность распределения по сечению при изгибе бруса.

Интегрируя по всей длине бруса, находим работу внутренних сил второго состояния на возможных перемещениях точек их приложения

Сумма работ внешних и внутренних сил согласно принципу возможных перемещений равна нулю. Но работа внутренних сил всегда противоположна по знаку работе внешних сил, т. е. Таким образом, искомое перемещение сечения бруса

Уравнение (7.1) называется интегралом Мора для пространственного бруса малой кривизны. Важно помнить, что в это равенство входят внутренние силовые факторы в текущем сечении, вычисленные относительно главных центральных осей инерции этого сечения.

Произведение силового фактора от заданной нагрузки (например, на соответствующий силовой фактор от единичной нагрузки считается положительным, если эти факторы совпадают по направлению. На криволинейных участках изгибающий момент, принято считать положительным, если он увеличивает кривизну оси.

Шестичленная формула (7.1) позволяет вычислить только проекцию полного перемещения сечения бруса на заданное направление. Если требуется определить полное перемещение 6, то сначала по формуле (7.1) вычисляются проекции этого перемещения на три взаимно перпендикулярных направления (направления главных центральных осей у и z сечения и касательной к оси х бруса), а затем находится

Слагаемые правой части равенства (7.1) по своей относительной величине неравноценны и соотношение между ними зависит от типа конструкции. Например, для подавляющего большинства рам влияние на их деформации перерезывающих и нормальных сил существенно меньше влияния изгибающих и крутящих моментов. Поэтому при определении перемещений сечений рам тремя последними слагаемыми формулы (7.1) обычно пренебрегают.

Изложенный выше метод вывода интеграла Мора не является единственным. Эту формулу для бруса малой кривизны можно получить различными способами, и в частности, исходя из условия равенства работы внешних сил А и потенциальной энергии деформации бруса как это было сделано при выводе интеграла Мора для балок (см. разд. 6.13).