11.7. ТЕОРИЯ МОРА

Согласно этой теории предельное состояние (текучесть или разрушение) материала наступает тогда, когда определенная совокупность нормального и касательного напряжений на одной из площадок достигает некоторого предельного значения, зависящего от свойств материала и вида напряженного состояния.

Рассмотрим круговую диаграмму напряжений (рис. 11.6). Множество точек любого вертикального отрезка на этой диаграмме определяет все площадки с одинаковыми нормальными и различными касательными напряжениями, причем наибольшие касательные напряжения действуют на площадке, определяемой точкой диаграммы. Эта точка находится на большой окружности диаграммы, координаты которой определяют напряжения на площадках, перпендикулярных ко второй главной площадке (см. разд. 10.9). Следовательно, из всего множества площадок с одинаковыми по величине нормальными напряжениями площадка с наибольшим касательным напряжением перпендикулярна ко второй главной площадке. Естественно предположить, что именно в одной из этих площадок и будет опасное сочетание

Напряжения в указанных площадках определяются значениями только крайних главных напряжений и не зависят от величины второго главного напряжения. Сточки зрения рассматриваемой теории, напряженные состояния, круговые диаграммы которых изображены на рис. 11.7, равноопасны, так как они характеризуются одной и той же большой окружностью диаграммы. Как показывает опыт, влияние промежуточного (второго) главного напряжения на

Рис. 11.6

Рис. 11,7

Рис. 11.8

прочность материала не очень велико. Однако опытные данные еще немногочисленны и не решают окончательно вопроса о роли второго главного напряжения.

Большой круг диаграммы напряжений, построенный на предельных значениях главных напряжений будем называть кругом предельных напряжений. Представим себе, что был испытан ряд образцов из одного и того же материала при различных нагружениях — одноосном растяжении, растяжении в двух и трех направлениях, растяжении в одном и сжатии в другом направлении, при одноосном сжатии, и т. д. Каждый образец путем пропорционального увеличения нагрузок доводился до предельного состояния, т. е. до начала образования значительных пластических деформаций или до разрушения, и в результате были определены предельные напряжения материала для различных напряженных состояний. Если круги предельных напряжений для всех исследованных напряженных состояний построить на одном графике, то они расположатся на нем примерно так, как показано на рис. 11.8.

Естественно, что результаты испытаний необходимо представлять графически отдельно для случая перехода материала в состояние текучести и отдельно для случая разрушения образцов.

Огибающая кругов предельных напряжений называется кривой предельных напряжений и определяет координатами своих точек предельную совокупность касательных и нормальных напряжений для данного материала при различных напряженных состояниях. Если напряженное состояние в опасной точке детали таково, что большой круг ее диаграммы напряжений коснется кривой предельных напряжений для материала детали, то согласно теории Мора в этой точке начнется разрушение или текучесть материала. Если же главные напряжения в опасной точке таковы, что большой круг напряжений расположен внутри области, ограниченной осью абсцисс и кривой предельных напряжений (см. рис. 11.8), то деталь будет обладать некоторым запасом прочности.

Построим на диаграмме огибающую больших кругов напряжений для напряженных состояний в раз меньшей интенсивности, чем предельные напряженные состояния. В результате получим кривую

Рис. 11.9

равноопасных состояний с коэффициентом запаса прочности Если большой круг диаграммы напряжений для опасной точки детали коснется этой кривой, то запас прочности детали будет равен

На участке между кругами предельных напряжений для одноосного растяжения и осевого сжатия кривая предельных напряжений имеет малую кривизну. Для упрощения расчетной формулы принято заменять кривую предельных напряжений на данном участке прямой касательной к кругам предельных напряжений для осевого растяжения и сжатия (см. рис. 11.8). Запас прочности, определяемый по этой прямой, будет несколько меньше истинного.

Разделим предельные напряжения при простом растяжении и сжатии на один и тот же запас прочности и построим круги напряжений для полученных значений допускаемых напряжений Касательная к этим кругам будет прямой допускаемых напряжений, соответствующих запасу прочности Если напряженное состояние в исследуемой точке детали таково, что его большой круг напряжений касается построенной прямой допускаемых напряжений, то это напряженное состояние равноопасно как одноосному растяжению, так и одноосному сжатию, к кругам которых проведена касательная. Поэтому напряжение указанного осевого растяжения можно рассматривать как эквивалентное напряжение для исследуемого напряженного состояния.

Установим аналитическую зависимость между главными напряжениями исследуемого напряженного состояния и равноопасного ему одноосного растяжения. Опустим из центров кругов напряжений перпендикуляры на прямую допускаемых напряжений (рис. 11.9) и проведем из точки А прямую, параллельную оси абсцисс. Получим два подобных треугольника и Из подобия этих треугольников следует, что

Как видно из рис. 11.9,

Подставляя найденные значения сторон треугольников в записанное выше равенство отношений этих сторон, получаем

Отсюда

Учитывая, что напряжение при осевом растяжении принято в качестве эквивалентного для рассматриваемого напряженного состояния, запишем последнее уравнение так:

Вводя обозначение получаем расчетное уравнение теории прочности предельных напряженных состояний:

Условие прочности имеет вид

При вычислении был принят один и тот же запас прочности, поэтому коэффициент равен отношению предельного напряжения при растяжении к предельному напряжению при сжатии. Для хрупких материалов для пластичных Для бруса формула эквивалентности (11.16) запишется так:

Если пластичный материал имеет равные пределы текучести при растяжении и сжатии, то и рассматриваемая теория, как видно из формул (11.7) и (11.16), дает те же результаты, что и третья теория. Для очень хрупких материалов есть правильная малая дробь, и теория Мора для них дает результаты, приближающиеся к результатам расчета по первой теории. Теория Мора, как и третья теория, имеет тот недостаток, что в ней не учитывается влияние второго главного напряжения на прочность материала. Кроме того, сложность построения кривой предельных напряжений и необходимость получения простых расчетных формул заставляет заменить эту кривую прямой линией. Такая замена упрощает аналитическое решение задачи, но ограничивает пределы применимости формулы (11.16) областью диаграммы между кругами для одноосного растяжения и сжатия. Возможность применения этой формулы для расчетов на прочность при трехосном растяжении или сжатии требует специальной экспериментальной проверки.

Принципиальным преимуществом теории Мора перед рассматриваемыми ранее теориями является то, что она целиком базируется на опытных данных, и всегда имеется возможность внести в эту теорию уточнения путем аппроксимации огибающей предельных кругов не прямой линией, а некоторой кривой.

Например, можно учесть в расчетных формулах механические характеристики материала не только при одноосном растяжении

и сжатии, но и при чистом сдвиге, аппроксимируя кривую предельных напряжений кривой второго порядка

касательной к кругам предельных напряжений при одноосном растяжении, сжатии и чистом сдвиге. Определяя коэффициенты А, В и С из условия соприкасания кривой (11.18) с указанными кругами, получаем расчетное уравнение теории Мора в виде

где для пластичных материалов

а для хрупких

В том случае, когда кривая (11.18) вырождается в прямую, имеем и уравнение (11.19) принимает вид (11.16).

Для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие, и уравнение (11.19) принимает вид

Если в последнем уравнении принять то придем к уравнению теории максимальных касательных напряжений авкв Если же принять то получим расчетное уравнение для случая по теории удельной энергии изменения формы:

Для бруса из (11.19) имеем

При получаем