10.3. НАПРЯЖЕНИЯ НА ПРОИЗВОЛЬНО НАКЛОНЕННОЙ К ОСЯМ КООРДИНАТ ПЛОЩАДКЕ

Покажем, что напряжения на любой площадке, проходящей через какую-либо точку, могут быть выражены через компоненты напряжений в этой точке.

Для доказательства допустим, что известны напряжения на каких-либо трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через данную точку, т. е. известны компоненты напряжений в этой точке если принять нормали к этим площадкам за оси координат.

Определим напряжения на наклонной площадке, нормаль к которой составляет с осями координаты углы (рис. 10.3). Косинусы углов , как известно, называются направляющими косинусами и их принято обозначать так: Направляющие косинусы связаны соотношением

Для определения напряжений на наклонной площадке проведем на бесконечно близком от нее расстоянии вспомогательную площадку, параллельную рассматриваемой, а через исследуемую точку — три плоскости, параллельные координатным плоскостям. Эти четыре плоскости выделят из тела бесконечно малый тетраэдр. На гранях выделенного тетраэдра действуют напряжения (рис. 10.4): на грани на грани на грани —

Рис. 10.3

Рис. 10.4

на грани Вследствие малости граней тетраэдра можно считать, что напряжения распределены по ним равномерно.

Напишем для этого тетраэдра три уравнения равновесия:

Этих уравнений достаточно для определения проекций полного напряжения К в наклонной площадке на оси координат.

Обозначим площадь наклонной площадки через Тогда площадь грани будет площадь грани площадь грани

В уравнениях равновесия тетраэдра не будем учитывать объемные силы, так как они являются бесконечно малыми величинами высших порядков малости вследствие малости размеров тетраэдра.

Проектируя внешние поверхностные силы на оси х, получаем

откуда

Полное напряжение на наклонной площадке

Таким образом, доказано, что напряжения на любой наклонной площадке действительно могут быть выражены через компоненты напряжений в данной точке.