6.12. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ УПРУГОЙ ЛИНИИ И ЕГО ИНТЕГРИРОВАНИЕ

При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сечения перемещаются поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом нормальными к изогнутой продольной оси (рис. 6.36).

Рис. 6.36

Деформированная (изогнутая) продольная ось балки называется упругой линией, а поступательные перемещения сечений, равные перемещениям их центров тяжести сечений — прогибами балки.

Между прогибами и углами поворота сечений существует определенная зависимость. Из рис. 6.36 видно, что угол поворота сечения равен углу наклона касательной к упругой линии — углы с взаимноперпендикулярными сторонами). Но согласно геометрическому смыслу первой производной Следовательно,

В пределах упругих деформаций прогибы балок обычно значительно меньше высоты сечения а углы поворота не превышают рад. В этом случае связь между прогибами и углами поворота упрощается и принимает вид

Определим теперь форму упругой линии. Влияние перерезывающих сил на прогибы балок как правило, незначительно. Поэтому с достаточной точностью можно принять, что при поперечном изгибе кривизна упругой линии зависит только от величины изгибающего момента и жесткости

В то же время в неподвижной системе координат кривизна упругой линии, как и всякой плоской кривой,

Приравнивая правые части последних равенств и учитывая, что правила знаков для и у" были приняты независимо друг от друга, получаем

Это равенство называется дифференциальным уравнением упругой линии.

При малых деформациях второе слагаемое в знаменателе мало по сравнению с единицей при и им можно пренебречь. В результате получим приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки

Выбор знака в правой части равенства (6.24) определяется направлением координатной оси у, так как от этого направления

Рис. 6.37

зависит знак второй производной Если ось у направлена вверх, то, как видно из рис. 6.37, знаки совпадают, и в правой части надо оставить знак плюс.

Если же ось у направлена вниз (см. рис. 6.37), то знаки противоположны, и это заставляет выбрать в правой части знак минус.

Заметим, что уравнение (6.24) справедливо только в пределах применимости закона Гука и лишь в тех случаях, когда плоскость действия изгибающего момента содержит одну из главных центральных осей инерции сечения.

Интегрируя (6.24), находим сначала углы поворота сечений

а после второго интегрирования — прогибы балки

Постоянные интегрирования определяются из граничных условий.

Например, для консольной балки с сосредоточенной парой на свободном конце (рис. 6.38)

В заделке прогиб и угол поворота сечения равны нулю Эти граничные условия будут удовлетворены, если Следовательно, балка изогнется по дуге параболы:

а этом примере наглядно проявляется приближенный характер уравнения (6.24), так как при постоянном изгибающем моменте согласно равенству

балка должна изгибаться по дуге окружности радиуса Однако в пределах длины балки указанные дуги окружности и параболы практически совпадают.

На участках с различными аналитическими выражениями для изгибающих моментов дифференциальные уравнения упругой линии

Рис. 6.38

Рис. 6.39

также различны. Интегрирование этих уравнений при участках дает произвольных постоянных. Для их определения к граничным условиям на опорах добавляются условия равенства прогибов и углов поворота на стыке двух смежных участков балки.

Например, в случае двухопорной балки, нагруженной на расстоянии а от левой опоры сосредоточенной силой Р (рис. 6.39), имеем два участка с различными уравнениями для моментов и упругой линии. На первом участке (при

а на втором участке (при

Здесь использован прием интегрирования без раскрытия скобок, т. е. переменной интегрирования является а не , что сказывается лишь на величине произвольных постоянных

Условия на опорах балки и условия плавного сопряжения участков упругой линии друг с другом будут иметь вид

Из первого граничного условия получим из второго имеем а из третьего находим, что

Используя последнее четвертое условие, подставим в уравнение упругой линии на втором участке и вычислим , а тем самым и

Таким образом, прогибы на левом и правом участках балки определены уравнениями

Если сила Р приложена по середине пролета, то прогиб балки в этом месте будет максимальным. Величину прогиба найдем, подставляя в уравнение на левом или правом участках

Знак минус означает, что балка прогибается в сторону, противоположную положительному направлению оси у.

При числе участков, большем двух, вычисления произвольных постоянных становятся громоздкими. Однако путем искусственных приемов составления и интегрирования дифференциальных уравнений упругой линии оказывается возможным добиться равенства произвольных постоянных С и на всех участках и свести таким образом задачу к вычислению только двух постоянных при любом числе участков. С помощью этих приемов получено так называемое универсальное уравнение упругой линии.