13.6. ЧИСТЫЙ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ ПРЯМОГО БРУСА

Предположим для простоты, что поперечное сечение бруса имеет две оси симметрии и нагрузка действует в плоскости симметрии бруса.

Определим зависимость радиуса кривизны изогнутой оси бруса и напряжений в точках его поперечного сечения от изгибающего момента при наличии пластических деформаций.

Эксперименты показывают, что при чистом изгибе бруса как в пределах, так и за пределами упругости справедлива гипотеза плоских сечений, т. е. деформации бруса по ширине сечения постоянны, а по высоте сечения изменяются по линейному закону

Максимальные удлинения егаах испытывают наиболее удаленные от нейтрального слоя волокна, причем

Допустим далее, что и за пределами упругости давление между волокнами отсутствует и каждое продольное волокно находится в состоянии одноосного растяжения (сжатия). В этом случае связь между напряжениями и деформациями для каждого волокна полностью определяется диаграммой растяжения материала бруса. Примем, что диаграмма сжатия подобна диаграмме растяжения.

Рассмотрим последовательность определения напряжений и деформаций в брусе при изгибе за пределами упругости, если диаграмма растяжения задана графически.

Для этого изобразим на одном чертеже диаграмму растяжения и поперечное сечение так, как показано на рис. 13.15 и проведем горизонтальные линии, соответствующие крайним волокнам сечения и его нейтральной линии.

Рис. 13.15

Рис. 13.16

Зададимся величиной ешах и построим эпюру в масштабе, принятом для при построении диаграммы растяжения (рис. 13.15).

По эпюре находим , а затем по диаграмме растяжения определяем соответствующее каждому значению напряжение а и по этим данным строим эпюру напряжений (см. рис. 13.15).

Определим теперь величину изгибающего момента, соответствующего заданной величине

Выделим в сечении полоску шириной и высотой

Тогда

Представим выражение для в виде где — площадь половины эпюры величин (см. рис. 13.15).

Таким образом находится величина изгибающего момента, соответствующая заданному значению ешах и кривизны изогнутой оси

Задаваясь рядом значений ешах, или, что то же, рядом значений кривизны строим график зависимости Этот график имеет вид, представленный на рис. 13.16, а.

В случае идеально упругопластического материала зависимость от имеет горизонтальную асимптоту, соответствующую предельному моменту Мир в пластическом шарнире (рис. 13.16, б).

Имея кривую для заданного сечения и материала балки, можно для любого значения графически найти соответствующее ему значение кривизны определить и построить эпюру .