4.7. ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ

Из формул (4.25) видно, что при повороте осей координат центробежный момент инерции меняет знак, а следовательно, существует такое положение осей, при котором центробежный момент равен нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения обращается в нуль, называются главными осями, а главные оси, проходящие через центр тяжести сечения — главными центральными осями инерции сечения.

Моменты инерции относительно главных осей инерции сечения называются главными моментами инерции сечения и обозначаются через и причем Обычно, говоря о главных моментах, подразумевают осевые моменты инерции относительно главных центральных осей инерции.

Предположим, что оси главные. Тогда

Отсюда

Уравнение (4.26) определяет положение главных осей инерции сечения в точке о относительно исходных осей координат

При повороте осей координат изменяются также и осевые моменты инерции. Найдем положение осей, относительно которых осевые моменты инерции достигают экстремальных значений. Для этого возьмем первую производную от по а и приравняем ее нулю:

отсюда

К тому же результату приводит и условие Сравнивая последнее выражение с формулой (4.26), приходим к заключению, что главные оси инерции являются осями, относительно которых осевые моменты инерции сечения достигают экстремальных значений.

Для упрощения вычисления главных моментов инерции формулы (4.25) преобразовывают, исключая из них с помощью соотношения (4.26) тригонометрические функции Учитывая, что

после несложных преобразований получаем для главных моментов инерции формулу

Знак плюс перед радикалом соответствует большему а знак минус — меньшему моменту инерции сечения.

Укажем на одно важное свойство сечений, у которых осевые моменты инерции относительно главных осей одинаковы. Предположим, что оси главные Тогда согласно равенствам (4.25) при любом угле поворота осей а центробежный момент инерции осевые

Итак, если моменты инерции сечения относительно главных осей одинаковы, то все оси, проходящие через ту же точку сечения, являются главными и осевые моменты инерции относительно всех этих осей одинаковы: Этим свойством обладают, например, квадратные, круглые, кольцевые сечения.