18.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ

Изгибающий момент в текущем сечении балки (см. рис. 18.1) от совместного действия продольных и поперечных сил

Дифференцируя это равенство дважды по х и перенося слагаемое с в левую часть, получаем

Учитывая, что и вторая производная от согласно известным дифференциальным зависимостям при поперечном изгибе последнее уравнение можем представить в виде

Здесь, как и раньше,

Рис. 18.9

Уравнение (18.11) является дифференциальным уравнением для изгибающих моментов при продольно-поперечном изгибе.

Подчиняя общий интеграл этого уравнения граничным условиям, получаем выражение для изгибающих моментов в текущих сечениях балки. Таким образом, уравнение (18.11) позволяет определить изгибающие моменты непосредственно, минуя определение прогибов.

В рассмотренном выше примере изгиба сжатой балки с одной поперечной силой Р (см. рис. 18.2) интенсивность распределенной поперечной нагрузки на левом и правом участках одинакова: Уравнение (18.11) для каждого из участков имеет вид

Общий интеграл этого уравнения

В сечениях над концевыми шарнирными опорами изгибающие моменты равны нулю, а в том сечении, где приложена сосредоточенная сила Р, перерезывающая сила изменяется скачком на величину силы Р. Отсюда граничные условия: . Вследствие симметрии балки имеем Первое условие для левого участка дает а из второго получаем: или

Таким образом, изгибающие моменты на левом участке балки определены выражением

Максимальный момент

Как и следовало ожидать, это выражение совпадает

Пример. Определить изгибающий момент в текущем сечении двухопорной балки, нагруженной равномерно распространенной поперечной нагрузкой и сжимающей силой 5 (рис. 18.9).

Решение. Подставляя в уравнение получаем Частное решение этого неоднородного уравнения: а его общий интеграл

Постоянные интегрирования определим из граничных условий: Первое условие дает второе

Следовательно, изгибающий момент в текущем сечении балки

Максимальный изгибающий момент найдем, полагая в этом уравнении