5.6. КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННОГО БРУСА ЗАМКНУТОГО ПРОФИЛЯ

Брус считается тонкостенным, если толщина стенки 5 существенно меньше его прочих линейных размеров.

Линия, делящая толщину сечения пополам, называется средней линией или контуром сечения. Часто тонкостенное сечение, называемое также профилем, изображается только его средней линией, а размеры сечения задаются по этой линии.

Средняя линия может быть замкнутой и незамкнутой. Соответственно этому профили делятся на замкнутые и открытые.

При кручении тонкостенного бруса его поперечные сечения де-планируются. Если ничто не препятствует свободной депланации сечений, кручение называется чистым или свободным. В противном случае кручение называется стесненным. При стесненном кручении в отличие от свободного в поперечных сечениях кроме касательных напряжений возникают также и нормальные напряжения.

Рассмотрим случай свободного кручения тонкостенного бруса замкнутого контура (рис. 5.11), при котором поперечные сечения могут свободно депланироваться, но не искажаться в своей плоскости, т. е. не изменяется форма сечения в плане. Последнее условие обеспечивается в тонкостенных конструкциях установкой достаточно жестких в своей плоскости диафрагм (в крыле самолета — нервюр, в фюзеляже — шпангоутов).

Определим напряжения в поперечных сечениях рассматриваемого бруса.

Крутящий момент, - численное значение которого, как и в брусе круглого сечения, определяется из уравнения (5.), будет реализован внутренними касательными силами упругости в сечении. Следовательно, и при депланации вся система внутренних касательных сил в сечении приводится к паре сил, действующей в нормальной к оси бруса плоскости.

Согласно методу решения подобных задач (см. разд. 2.4 и 5.2) следующим шагом является определение закона распределения

Рис. 5.12

напряжений по сечению. Б данном случае нет необходимости обращаться к исследованию деформаций, так как тонкостенность сечения позволяет определить сразу закон распределения напряжений.

Сначала установим направление и характер распределения напряжений по толщине сечения.

В крайних точках нормали (рис. 5.12) к средней линии сечения векторы напряжений, как доказано выше, направлены по касательным к внешнему и внутренним контурам сечения. Вследствие малой толщины сечения эти векторы почти параллельны, и поэтому с небольшой погрешностью можно считать, что во всех точках нормали векторы напряжений параллельны касательной к средней линии сечения. В то же время кручение пустотелого вала кольцевого сечения (см. рис. 5.5) показывает, что при малой толщине стенки можно пренебречь изменением величины напряжений по толщине сечения.

Таким образом, можно считать, что при кручении тонкостенного бруса замкнутого контура касательные напряжения по толщине распределены равномерно и направлены по касательной к его средней линии.

Остается определить, как изменяются напряжения вдоль контура сечения, иначе — установить зависимость между напряжениями и в двух его произвольных точках, если толщина сечения в этих точках Для этого двумя продольными сечениями, проходящими через рассматриваемые точки нормально к контуру, и еще одним поперечным сечением выделим элемент бруса длиной . В силу свойства парности в проведенных продольных сечениях будут действовать касательные напряжения, равные и Составим теперь уравнение равновесия элемента, спроектировав все силы на ось бруса (рис. 5.12):

Так как точки 1 и 2 взяты произвольно, то тем самым доказано, что произведение называемое потоком касательных напряжений, является величиной постоянной для всего сечения:

Воспользуемся далее равенством (5.2):

где — элементарная касательная сила в сечении; — момент этой силы относительно произвольно взятой точки О (рис. 5.13).

Рис. 5.13

Рис. 5.14

Следовательно, Величина при интегрировании по средней линии сечения, поэтому

Произведение представляет собой удвоенную площадь треугольника с вершиной в точке О, основанием и высотой рис. 5.13 треугольник заштрихован). Интеграл даст, очевидно, удвоенную площадь фигуры, ограниченной средней линией сечения. Обозначим эту площадь через Тогда

Отсюда получаем расчетное уравнение для определения при кручении тонкостенного бруса замкнутого контура:

При постоянной толщине сечения во всех его точках одинаковы по величине. В сечении переменной толщины наибольшее действует там, где сечение тоньше:

Угол закручивания тонкостенного бруса в пределах упругих деформаций определим энергетическим методом, приравнивая работу внешних сил потенциальной энергии деформации.

Выделим двумя поперечными сечениями элемент бруса длиной Крутящие моменты в этих сечениях, являющиеся для выделенной части бруса внешними нагрузками, производят на угле закручивания рассматриваемой части работу

Подсчитаем потенциальную энергию деформации. Удельная энергия при сдвиге согласно формуле (3.4)

Следовательно, энергия, накопленная в элементарном объеме с площадью основания и высотой (рис. 5.14), равна а энергия, накопленная во всей рассматриваемой части бруса, Заменяя здесь его значением из выражения (5.20) и учитывая, что и величины постоянные при интегрировании по контуру сечения, получаем

Приравнивая выражения (5.22) и (5.23), находим относительный угол закручивания тонкостенного бруса

Введя обозначение

придадим выражению для 0 такой же вид, как и при кручении бруса круглого сечения

Абсолютный угол закручивания вычисляется по формуле

Выражение (5.25) является геометрической характеристикой жесткости тонкостенного сечения при кручении. Его размерность такая же, как и у полярного момента инерции но При постоянной толщине сечения

где — длина средней линии сечения.

Если толщина сечения на различных участках контура различна, то

где — длина и толщина участка сечения.