13.3. РАСЧЕТ ПО НАГРУЗКАМ, ИСЧЕРПЫВАЮЩИМ НЕСУЩУЮ СПОСОБНОСТЬ

Суть метода расчета конструкций по нагрузкам, исчерпывающим несущую способность конструкций, наиболее просто представить себе, рассмотрев такой пример.

Предположим, что трехстержневая система из идеально упругопластического материала (рис. 13.6) нагружена силой Р гак, как показано на рис. 13.6. Допустим, что площади сечений и материал всех стержней одинаковы. Подсчитаем предельное значение силы при расчете по допускаемым напряжениям.

Данная система один раз статически неопределима. Раскрывая статическую неопределимость, получаем (см. разд. 2.21)

При возрастании силы Р напряжения в стержне 2 быстрее достигнут предела текучести, так как и материал среднего стержня потечет раньше, чем боковых.

Полагая находим предельную нагрузку при расчете по допускаемым напряжениям: .

Однако достижение нагрузкой Р значения не означает, что несущая способность всей конструкции уже исчерпана, так как крайние стержни, оставаясь упругими, препятствуют развитию пластической деформации среднего стержня.

Конструкция способна воспринять большую нагрузку, но при дальнейшем возрастании силы Р напряжения во втором стержне, как следует из диаграммы для идеально упругопластического материала, останутся равными от и будут увеличиваться напряжения только в первом и третьем стержнях, пока не достигнут значений . С этого момента дальнейшее возрастание нагрузки Р невозможно, так как и без ее увеличения перемещения точек конструкции будут при идеальной пластичности материала неограниченно возрастать.

Значение нагрузки, при которой перемещения точек конструкции возрастают без увеличения нагрузки, т. е. система превращается в геометрически изменяемую, называется нагрузкой, исчерпывающей несущую способность конструкции.

Полагая нормальные силы в каждом из трех стержней равными находим из уравнений равновесия узла А нагрузку , исчерпывающую несущую способность рассматриваемой фермы.

При всех значениях а, не равных 0 и 90°, имеем Так, при расчет по нагрузкам, исчерпывающим несущую способность, в рассматриваемой задаче дает на больше, чем расчет предельной нагрузки по методу допускаемых напряжений.

При одинаковом запасе прочности допускаемые нагрузки будут находиться в таких же соотношениях, что и предельные нагрузки. Расхождение между не всегда бывает столь значительным, но всегда в сторону

Рис. 13.6

Рис. 13.7

большей экономичности расчета по нагрузкам, исчерпывающим несущую способность конструкции.

Часто нагрузка, исчерпывающая несущую способность конструкции, считается разрушающей. Но это справедливо при неограниченной длине площадки текучести. Если материал обладает упрочнением, то при достижении деформациями значения, соответствующего началу упрочнения, для дальнейшего деформирования элемента потребуется увеличение нагрузки. Поэтому действительная разрушающая нагрузка будет больше, чем Однако при этом деформации конструкции, как правило, возрастают столь значительно, что дальнейшее использование ее становится практически нецелесообразным. Поэтому нагрузку, исчерпывающую несущую способность конструкции, можно рассматривать как разрушающую.

Пример. Определить нагрузку, исчерпывающую несущую способность бруса, представленного на рис. 13.7.

Решение. Исследуем поведение бруса при увеличении нагрузки. При малых нагрузках брус будет испытывать только упругие деформации и для определения напряжений в сечениях бруса потребовалось бы раскрыть статическую неопределимость системы.

При увеличении материал первого или третьего участка перейдет в состояние текучести. Однако для исчерпания несущей способности бруса совершенно недостаточно возникновения текучести только на одном из этих участков. Только тогда, когда интенсивность достигает величины, при которой текучесть охватит оба крайних участка, средняя часть бруса станет свободно перемещаться вправо и несущая способность бруса будет исчерпана. Значение предельной нагрузки находится из условия предельного равновесия среднего участка бруса:

Рассмотренные в этом разделе примеры в пределах упругих деформаций являются один раз статически неопределимыми. Объясняется это тем, что те связи, в которых материал переходит в пластическое состояние, как бы выключаются и тем самым количество избыточных связей уменьшается.

Возможны два способа определения предельной нагрузки — кинематической и статический.

Согласно кинематическому способу предельной является та наименьшая нагрузка, при которой деформации конструкции начинают расти при постоянной нагрузке (конструкция или ее часть превращается в механизм).

В рассмотренных выше примерах схема пластического разрушения конструкции очевидна и это позволило сразу определить предельную нагрузку. Если возможны различные варианты превращения конструкции в механизм, то необходимо рассмотреть все эти варианты и для каждого составить уравнения предельного равновесия. Действительной схемой исчерпания несущей способности конструкции будет та, которая соответствует наименьшему значению нагрузки.

Уравнения предельного равновесия могут быть составлены в виде уравнений равновесия или в виде уравнений работ.

Статический способ основан на определении наибольшей нагрузки, при которой еще возможно статическое равновесие конструкции. Для этого надо рассмотреть все возможные варианты распределения внутренних сил в конструкции, удовлетворяющих уравнениям равновесия и условиям ограниченности усилий Определить для каждого варианта предельную нагрузку. Наибольшая из найденных нагрузок и будет предельной для данной конструкции.

Таким образом, в статическом методе исследуются все возможные варианты распределения внутренних усилий в элементах конструкции, а в кинематическом — все возможные варианты превращения конструкции в механизм. Последние представить легче, чем распределение усилий и в этом смысле кинематический способ имеет преимущества перед статическим.