10.5. ГЛАВНЫЕ ПЛОЩАДКИ И ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ. ИНВАРИАНТЫ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

Нормальные и касательные напряжения на наклонной площадке зависят от ее ориентировки; величина их изменяется с изменением наклона площадки.

Рис. 10.5

Можно показать, что среди множества площадок, проходящих через точку тела, всегда найдутся по крайней мере три взаимно перпендикулярные площадки, касательные напряжения на которых равны нулю. Эти площадки называются главными площадками, а нормальные напряжения на них — главными напряжениями.

Направления нормалей к этим площадкам называются главными направлениями или главными осями напряжений в данной точке.

Докажем сначала существование главных площадок, а затем их ортогональность.

Для доказательства предположим, что среди множества площадок, проходящих через точку, существует одна площадка, на которой действует только нормальное напряжение (рис. 10.5), а касательное равно нулю. Эта площадка будет главной. Обозначим напряжение на этой площадке символом а направляющие косинусы нормали к ней Проектируя полное напряжение оси координат., получаем

Но согласно формулам (10.2)

Следовательно,

Преобразуем написанные уравнения так:

Относительно переменных полученная система является системой линейных однородных алгебраических уравнений. Направляющие косинусы и не могут быть одновременно равны нулю, так как связаны соотношением поэтому для существования решений, отличных от нулевых, определитель системы должен быть равен нулю:

Равенство (10.8) является уравнением третьей степени относительно , как всякое уравнение нечетной степени, имеет по меньшей мере один действительный корень. Это обстоятельство свидетельствует о существовании, по крайней мере, одного главного напряжения, а следовательно, и одной главной площадки в исследуемой точке.

Обратимся к доказательству существования двух других главных площадок. Повернем оси координат, направив одну из них, например ось у, по нормали к главной площадке, существование которой было доказано. В этом случае

Напишем теперь уравнение (10.8) для случая, когда ось у перпендикулярна главной площадке. Полагая в уравнении равными нулю, получаем

Разложим определитель по элементам второй строки. Имеем

или

Первое решение этого уравнения ничего нового не дает, так как приводит к исходной главной площадке.

Два других решения получим, приравнивая нулю множитель, стоящий в квадратных скобках:

Решая это квадратное уравнение, находим значения двух остальных главных напряжений:

После преобразования под радикалом окончательно получим

Из последнего выражения видно, что два других значения 0г также действительны, так как под корнем стоит сумма квадратов двух величин.

Итак, все три корня уравнения (10.8) оказались действительными. Этим и доказано существование трех главных напряжений, а тем самым и трех главных площадок.

Главные напряжения принято обозначать символами так чтобы удовлетворялись неравенства Значения

главных напряжений определяются из уравнения (10.8). В развернутом виде это уравнение может быть записано так:

где

Компоненты напряженного состояния зависят от ориентировки осей и будут меняться при изменении направления этих осей. В то же время главные напряжения в каждой точке имеют вполне определенные значения и направления и, естественно, не зависят от направления выбранных для их определения координатных осей. Но тогда коэффициенты в уравнении (10.10) не должны изменять своей величины при изменении направления исходной системы прямоугольных координат. Поэтому коэффициенты называются инвариантами напряженного состояния в точке. Если в качестве исходных осей приняты главные направления, то

Докажем теперь ортогональность главных площадок. Сначала докажем ортогональность первой и второй главных площадок.

Обозначив направляющие косинусы первой главной площадки через а второй — через запишем уравнения (10.6) для первой площадки:

и для второй:

Умножим уравнения первой группы соответственно на и «2, а уравнения второй группы на и сложим все уравнения сначала первой группы, а затем второй. Далее из первой суммы вычтем вторую. Проделав эти операции, получим

Рис. 10.6

Если Последнее равенство есть условие перпендикулярности двух плоскостей, что и доказывает ортогональность первой и второй главных площадок.

В случае когда как будет показано в дальнейшем, любая площадка, перпендикулярная к третьей, является главной.

Аналогично доказывается ортогональность остальных главных площадок.

Итак, доказано существование в точке по меньшей мере трех главных площадок и их ортогональность. Отсюда следует, что любое сложное напряженное состояние в точке может быть сведено к растяжению и сжатию по трем взаимно перпендикулярным направлениям (рис. 10.6). Для этого достаточно направить оси координат по нормалям к главным площадкам.