10.13. ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

Плоское напряженное состояние имеет место во всех случаях, когда компоненты напряжений параллельны одной плоскости, например, при не равных нулю, и — равных нулю (рис. 10.16).

Определим главные напряжения по заданным компонентам.

Отсюда

Приравнивая нулю каждый из сомножителей, имеем

Решая квадратное уравнение, находим

Решение приводит к уже известной главной площадке, перпендикулярной оси На этой площадке, как следует из рис. 10.16,

Рис. 10.16

Рис. 10.17

Второе и третье решения определяют напряжения на двух остальных главных площадках, параллельных оси Какому из найденных трех главных напряжений надо приписать индекс 1, 2 или 3, можно решить только после вычислений по формулам (10.21).

Для определения положения главных площадок, параллельных оси нет необходимости в решении всей системы (10.13), так как нормаль к каждой из них расположена в плоскости х, у.

Поскольку в этом случае направляющие косинусы нормали к главной площадке то для определения угла а достаточно только одного, например первого уравнения системы (10.13):

Отсюда находится тангенс угла, на который нужно повернуть ось х, чтобы она совпала с направлением нормали к главной площадке с напряжением

Положительным значениям а при правой системе координатных осей х, у, z соответствует поворот против часовой стрелки, а отрицательным — по часовой стрелке.

На рис. 10.17 изображена диаграмма Мора для плоского напряженного состояния. Укажем, как строить эту диаграмму, если плоское напряженное состояние задано не главными напряжениями, а компонентами напряжений. Порядок построения диаграммы в этом случае непосредственно вытекает из способа определения напряжений на наклонных цлощадках по этой диаграмме. Предположим, что напряженное состояние задано компонентами Для построения диаграммы отложим на горизонтальной оси в выбранном масштабе напряжение а на вертикальной прямой, проведенной из конца отрезка отложим причем положительные значения будем откладывать выше, а отрицательные — ниже оси абсцисс.

Из конца отрезка также отложим но в сторону, противоположную напряжению Затем соединим прямой концы отрезков,

Рис. 10.18

соответствующих и на этой прямой как на диаметре построим окружность (см. рис. 10.17). Полученная диаграмма и есть круговая диаграмма напряжений для плоского напряженного состояния.

Точки пересечения построенной окружности с осью абсцисс определяют главные напряжения, а координаты всех остальных точек окружности — нормальные и касательные на площадках, угол наклона которых к первой площадке определен равенством

В частном случае плоского напряженного состояния при радиус окружности, построенной на напряжениях равен нулю. Это значит, что все площадки, перпендикулярные к третьей главной площадке, свободны от касательных напряжений, т. е. все эти площадки являются главными. Но это не означает, что при данных условиях в точке не существуют площадки с касательными напряжениями. Существование таких площадок доказывается кругами напряжений, построенными на главных напряжениях также На диаграмме эти круги совпадают. Как следует из этой диаграммы (рис. 10.18), максимальные касательные напряжения будут действовать в четырех площадках, составляющих с первой и третьей, а также со второй и третьей углы 45°.