ГЛАВА 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

Деформации и напряжения в брусе существенно зависят от размеров и формы его поперечных сечений. Поэтому во всех расчетных формулах обязательно присутствуют геометрические характеристики этих сечений. При одноосном растяжении и сжатии такой характеристикой является площадь сечения. В теории кручения и изгиба встречаются более сложные геометрические характеристики, так как в этих случаях напряжения и деформации зависят не только от площади, но и от формы сечения.

4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Возьмем какую-либо плоскую фигуру (рис. 4.1), представляющую собой поперечное сечение бруса, и проведем в ее плоскости произвольную систему прямоугольных осей Затем разобьем площадь этой фигуры на элементарные площадки

Пределы сумм произведений площадей всех элементарных площадок на координаты у и их центров тяжести называются статическими моментами сечения относительно осей у и и обозначаются соответственно через и

показывает, что суммирование производится по всей площади сечения, а индекс статического момента обозначает ось, относительно которой он вычисляется.

В зависимости от расположения сечения относительно осей координат статические моменты могут быть величинами положительными

Рис. 4.1

отрицательными и равными нулю. Размерность статического момента сечения

Интегралы

называются осевыми моментами инерции, а интеграл

центробежным моментом инерции сечения. Размерность моментов инерции

Осевые моменты инерции всегда можно представить как произведения площади фигуры на квадраты некоторых вспомогательных величин, имеющих размерность длины и называемых радиусами инерции:

Следовательно, радиусы инерции сечения относительно осей

Предел суммы произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния от начала координат

называется полярным моментом инерции сечения относительно точки О. Так как

или

Итак, полярный момент инерции относительно центра равен сумме осевых моментов инерции относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей, проходящих через этот центр и расположенных в плоскости сечения.

Осевые и полярный моменты инерции, представляющие собой пределы сумм положительных величин, всегда положительны, а центробежный момент инерции может быть величиной положительной, отрицательной и равной нулю, так как координаты у и входят в его выражение в первых степенях.

Из самого смысла выражений (4.1), (4.2) и (4.3) как пределов интегральных сумм следует, что моменты инерции и статические моменты фигуры относительно каких-либо осей равны суммам соответствующих моментов всех ее частей относительно тех же осей. Это свойство будет использоваться в

дальнейшем при расчете сложных сечений, которые можно разбивать на простые фигуры.

Моменты инерции и статические моменты сечения зависят от формы и размеров сечения, а также и от расположения осей координат. Какого-либо геометрического смысла эти величины не имеют. Поэтому формулы (4.1) ... (4.5) надо рассматривать и как определения этих геометрических характеристик. Названия им даны по формальной аналогии с динамическими моментами инерции тела и моментами сил.