10.14. ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ И ГЛАВНЫЕ ПЛОЩАДКИ В БРУСЕ

Предположим, что прямой брус подвергается одновременному воздействию изгибающих, скручивающих и растягивающих (сжимающих) нагрузок. Выразим главные напряжения в какой-либо точке бруса через напряжения на площадке его поперечного сечения, проходящей через эту точку.

От изгиба в поперечном сечении бруса возникнут нормальные и касательные напряжения, от кручения — только касательные, а от растяжения или сжатия — только нормальные. Каждое из указанных напряжений может быть вычислено по расчетным формулам, выведенным в предыдущих разделах курса.

Полагая, что принцип независимости действия сил справедлив и суммируя на этом основании одноименные напряжения, получаем полные нормальные и касательные напряжения на площадке поперечного сечения при совместном действии изгиба, кручения и растяжения (сжатия) бруса. Направим оси координат так, чтобы ось х

Рис. 10.19

Рис. 10.20

совпадала с нормалью к площадке поперечного сечения, а ось у — с вектором суммарного касательного напряжения на этой площадке (рис. 10.19). Вследствие такого выбора осей координат компоненты напряжений в рассматриваемой точке будут где а и х — суммарные нормальные и касательные напряжения на площадке поперечного сечения. Напряжения и принимаются равными нулю, так как давление продольных волокон друг на друга весьма мало и им можно пренебречь. Таким образом, в рассматриваемой точке имеет место частный случай плоского напряженного состояния, так как не только

Главные напряжения найдем, полагая в Получим

Второе слагаемое в выражении для всегда больше первого. Следовательно, в брусе, в отличие от общего случая плоского напряженного состояния, сразу можно главным напряжениям приписать индексы.

Максимальное касательное напряжение в брусе определим по формуле (10.16), подставляя в нее выражения (10.24) для

Получим

Положение главных площадок находится по формуле (10.22). Для первой главной площадки эта формула принимает вид

Пример. Определить главные напряжения и главные площадки в течке А при кручении бруса круглого поперечного сечения (рис. 10.20).

Решение. Направим оси координат, как показано на рис. 10.20. Напряжения на площадке поперечного сечения вблизи точки А

Площадка, перпендикулярная оси совпадает с боковой поверхностью бруса. Через эту поверхность никаких внешних нагрузок не передается (скручивающие пары приложены в плоскостях, перпендикулярных оси бруса), поэтому напряжения Следовательно, указанная площадка является второй главной площадкой. Остальные главные напряжения в точке А найдем по формулам (10.24):

Тангенс угла между нормалью к первой главной площадке и осью х согласно формуле (10.26)

Таким образом, нормаль составляет с положительным направлением оси х угол 135°. Этот угол надо отсчитывать от положительного направления оси х в сторону положительного направления оси у. На рис. 10.20 главные площадки обозначены их номерами: первая площадка 1, вторая — 2 и третья — 3,