4.4. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПРОСТЕЙШИХ ФИГУР
В расчетной практике часто встречаются сечения в виде простейших фигур (прямоугольников, кругов, треугольников и т. п.) или их комбинаций. При вычислении моментов инерции таких фигур обычно пользуются заранее выведенными расчетными формулами. Рассмотрим некоторые из фигур.
Рис. 4.6
Рис. 4.7
Прямоугольник и параллелограмм (рис. 4.6). Выделим элементарную полоску площадью 
и подставим это значение 
под знак интеграла (4.2):
Следовательно, момент инерции прямоугольника и параллелограмма с основанием 
и высотой 
относительно центральной оси, параллельной основанию,
Моменты инерции этих фигур относительно осей, проходящих через основание, находим по формуле (4.12):
Моменты инерции прямоугольника относительно осей 
и у вычисляются по формулам (4.13) и (4.14), где 
заменяется на 
— на 
Треугольник с основанием 
и высотой 
(рис. 4.7). Разобьем треугольник на элементарные полоски, параллельные его основанию. Площадь такой полоски
Тогда момент инерции треугольника относительно оси, проходящей через основание,
Подсчитывая по формулам переноса момент инерции треугольника относительно центральной оси, параллельной основанию, получаем
Рис. 4.8
Отсюда относительно центральной оси момент инерции треугольника
Круг и полукруг диаметра d (рис. 4.8).
Подсчитываем сначала полярный момент инерции круга. Для этого выделим в сечении окружностями радиуса 
элементарное кольцо площадью 
и вычислим 
по формуле (4.5):
Обычно размеры круглого сечения выражают через диаметр 
и подсчитывают 
по формуле
Осевые моменты инерции круга найдем с помощью соотношения 
Замечая, что в силу симметрии круга 
получаем для осевых моментов инерции круга выражение
Центральные оси 
делят круг на четыре совершенно одинаковые части с равными моментами инерции относительно этих осей. Следовательно, моменты инерции круга и полукруга относительно осей у и 
должны быть равны соответственно учетверенным и удвоенным моментам инерции относительно тех же осей одной четверти круга. Из сказанного следует, что моменты инерции полукруга относительно оси симметрии у и оси 
проходящей через его основание (рис. 4.2), будут одинаковы и равны половине момента инерции круга,
а моменты инерции четверти круга
Тонкостенное полукольцо и кольцо постоянной толщины 
(см. рис. 4.3). Поступая, как и в случае вычисления центра тяжести рассматриваемого полукольца (см. разд. 4.2), находим
Момент инерции полукольца относительно оси симметрии у равен моменту инерции относительно оси 
. В этом нетрудно убедиться, вычисляя интеграл 
где 
.
Осевой момент инерции кольца равен удвоенному моменту инерции полукольца:
