6.14. СПОСОБ ВЕРЕЩАГИНА

В 1925 г. А. Н. Верещагин предложил простой графоаналитический прием вычисления интеграла в случаях, когда эпюра ограничена прямыми линиями. По существу это прием графоаналитического вычисления определенного интеграла от произведения двух функций из которых одна, например линейная, т. е. имеет вид

Рассмотрим участок балки, в пределах которого эпюра изгибающих моментов от единичной нагрузки ограничена одной прямой линией а изгибающий момент от заданной нагрузки изменяется по некоторому произвольному закону (рис. 6.43). Тогда в пределах этого участка

Второй интеграл представляет собой площадь эпюры на рассматриваемом участке, а первый — статический момент этой площади относительно оси у и поэтому равен произведению площади со на координату ее центра тяжести Таким образом,

Здесь — ордината эпюры под центром тяжести площади . Следовательно,

Рис. 6.43

Произведение будет положительным, когда со и расположены по одну сторону от оси эпюры, и отрицательным, если они находятся по разные стороны от этой оси.

Итак, по способу Верещагина операция интегрирования заменяется перемножением площади одной эпюры на ординату второй (обязательно линейной) эпюры, взятой под центром тяжести площади о).

Важно всегда помнить, что такое «перемножение» эпюр возможно лишь на участке, ограниченном одной прямой той эпюры, с которой берется ордината

Поэтому при вычислении перемещений сечений балок способом Верещагина интеграл Мора по всей длине балки надо заменить суммой интегралов по участкам, в пределах которых эпюра моментов от единичной нагрузки не имеет изломов. Тогда

Для успешного применения способа Верещагина необходимо иметь формулы, по которым могут быть вычислены площади и координаты их центров тяжести. Приведенные в табл. 6.1 данные отвечают только наиболее простым случаям нагружения балки. Однако более сложные эпюры изгибающих моментов допустимо разбивать на простейшие фигуры, площади и координаты которых известны, а затем находить произведение для такой сложной эпюры суммированием произведений площадей ее частей на соответствующие им координаты у а- Объясняется это тем, что разложение множимой эпюры на части равносильно представлению функции в интеграле (6.27) в виде суммы:

В некоторых случаях упрощает расчеты построение расслоенных эпюр, т. е. от каждой из внешних сил и пар в отдельности.

Если обе эпюры линейные, конечный результат их перемножения не зависит от того, умножается ли площадь первой эпюры на ординату второй или, наоборот, площадь второй на ординату первой.

Для практического вычисления перемещений по способу Верещагина надо:

1) построить эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузки (основная эпюра);

Таблица 6.1 (см. скан)

2) снять с балки заданную нагрузку (но сохранить опоры) и приложить в сечение, перемещение которого ищется, в направлении этого перемещения единичную силу, когда ищется прогиб, или единичную пару, если искомым является угол поворота;

3) построить эпюру изгибающих моментов от единичной нагрузки (единичная эпюра);

Рис. 6.44

4) разбить эпюры от заданных нагрузок на отдельные площади ; и вычислить ординаты единичной эпюры под центрами тяжести этих площадей;

5) составить произведение и просуммировать их.

Пример. Определить прогиб конца консоли (рис. 6.44) и угол поворота сечения В.

Решение. Построим эпюры изгибающих моментов от заданных нагрузок, а затем от единичной силы, приложенной к концу консоли, и от единичной пары, приложенной в сечении В (см. рис. 6.44).

Для определения прогиба точки А надо перемножить эпюры от заданной нагрузки и единичной силы.

Разобьем основную эпюру на параболический треугольник, прямоугольник и треугольник (трапецию разбиваем на прямоугольник и треугольник потому, что заранее неизвестно, где находится ее центр тяжести) и вычислим а затем по эпюре от единичной силы найдем координаты . В результате получим

Определяя угод Доворота сечения В, перемножаем эпюры от заданных нагрузок и единичного момента только на правом участке (на левом это произведение равно нулю). Обе эпюры на этом участке линейные, и поэтому безразлично, с какой из них брать площадь. Если площадь взять с эпюры от заданных нагрузок, то

Если же площадь взять с единичной эпюры, то

Результаты перемножения, как и следовало ожидать, одинаковы. Знак минус показывает, что сечение В поворачивается в направлении, противоположном направлению единичного момента.

Пример. Определить прогиб середины пролета балки (рис. 6.45).

Решение. Перемножить эпюры от заданных нагрузок и единичной силы сразу на всей длине балки нельзя, так как единичная эпюра ограничена двумя прямыми. Поэтому перемножим эшоры на половине балки и результат удвоим. Используя данные табл. 6.1, получаем

Нетрудно проверить, что правая часть последнего выражения имеет размерность длины.

Пример. Определить прогиб в точке В балки, показанной на рис. 6.46.

Решение. Строим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и единичной силы, приложенной в точке В. Чтобы перемножить эти эшоры, надо балку разбить на три участка, так как единичная эпюра ограничена тремя различными прямыми.

Операция перемножения эпюр на втором и третьем участках осуществляется просто. Затруднения возникают при вычислении площади и координат центра

Рис. 6.45

Рис. 6.46

тяжести основной эпюры на первом участке. В таких случаях намного упрощает решение задачи построение расслоенных эпюр. При этом удобно одно из сечений принять условно за неподвижное и строить эпюры от каждой из нагрузок, приближаясь справа и слева к этому сечению. Целесообразно за неподвижное принимать сечение в месте перелома на эпюре единичных нагрузок.

Расслоенная эпюра, в которой за неподвижное принято сечение В, представлена на рис. 6.46. Вычислив площади составных частей расслоенной эпюры и соответствующие им ординаты единичной эпюры, получаем