ГЛАВА 11. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ СЛОЖНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ

В данной главе рассматриваются методы расчета на прочность при сложном состоянии в опасных точках деталей из однородных изотропных материалов при постоянных во времени напряжениях и нормальных температурных условиях, при которых не сказывается явление ползучести.

Расчет ведется по напряжениям в наиболее нагруженной (опасной) точке детали, положение и напряженное состояние в которой считается известным. При этом предполагается, что текучесть или разрушение материала в каждой точке детали полностью определяется напряженным состоянием только в этой точке и не зависит от поведения материала в любой другой точке детали, даже сколь угодно близкой к опасной точке.

11.1. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ СЛОЖНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ В ОПАСНОЙ ТОЧКЕ

Разработка теоретических основ и методов, позволяющих решить вопрос о прочности деталей машин и конструкций, является конечной целью сопротивления материалов.

Термин «прочность» понимается в сопротивлении материалов в самом широком смысле и включает в себя по существу выполнение всех условий, при которых будет обеспечено выполнение деталью ее функционального назначения в процессе работы машины или конструкции.

Между тем деталь не может выполнить свое назначение не только в случае ее разрушения, но и при образовании пластических деформаций в таких объемах, которые недопустимо искажают форму и размеры детали. Именно поэтому в качестве предельных напряжений стлр. при расчете на прочность в случае растяжения, изгиба или кручения брусьев принимается предел прочности для хрупких материалов и предел текучести — для пластичных материалов.

Таким образом, в одном случае в качестве предельного состояния в опасной точке детали принимается переход материала в окрестности этой точки из упругого состояния в пластическое, а в другом — разрушение материала, выражающееся в образовании трещин в окрестности данной точки.

Рис. 11.1

Рис. 11.2

Если подходить к трактовке прочности как к переходу материала из одного механического состояния в другое, то детального исследования самого механизма образования пластических деформаций или механизма разрушения проводить не требуется. Достаточно установить лишь условия и численные значения параметров (например, напряжений), при которых эти процессы начинаются. Это не означает, конечно, что инженера вообще не интересует механизм разрушения или образования пластических деформаций.

В настоящее время механизм образования пластических деформаций более или менее ясен, тогда как механизм разрушения изучен еще недостаточно и общепринятой теории разрушения пока нет. Однако уже имеющиеся сведения позволяют с определенной долей достоверности сформулировать условия перехода от упругого к пластическому состоянию и условия, при которых начинается разрушение материала. Эти условия характеризуются критериями пластичности и критериями разрушения. На формулировке некоторых из указанных критериев остановимся несколько позже.

Опыт показывает, что при прочих равных условиях (одинаковых температуре испытания, скорости нагружения и т. п.) начало образования в дальнейшее развитие пластических деформаций, как и начало хрупкого разрушения в окрестности опасной точки тела, зависит от вида напряженного состояния в этой точке.

Зависимость механических свойств материала от вида напряженного состояния проявляется уже при испытаниях образцов из пластичных материалов на одноосное растяжение. Известно, что цилиндрические образцы из пластичной малоуглеродистой стали при испытаниях на одноосное растяжение разрушаются по типу чашка—конус. Исследования показывают, что после образования шейки в центре ее наименьшего сечения начинается отрыв частиц материала друг от друга и образуется симметричная относительно оси образца поперечная трещина (рис. 11.1). В то же время материал вблизи поверхности шейки продолжает деформироваться пластически до разрушения от сдвига по плоскости действия тшах, наклоненным к оси образца под углом 45°.

Хрупкий характер разрушения материала вблизи центра шейки объясняется тем, что после ее образования в окрестности центра наиболее напряженного сечения шейки создается трехосное растяжение (рис. 11.2). Образование пластических деформаций здесь затруднено и при достижении растягивающими напряжениями предельных для данного материала значений начинается отрыв частиц материала друг от друга, характерный для хрупкого типа разрушения.

После образования поперечной трещины (дна чашки) вся нагрузка в этом сечении передается через внешнюю не разрушившуюся цилиндрическую часть шейки. Напряженное состояние здесь одноосное, что и определяет пластический характер деформирования материала-образца вблизи поверхности шейки и разрушения по плоскостям сдвига, образующим поверхность конуса. В то же время испытания такого хрупкого при одноосном нагружении материала, как мрамор, на осевое сжатие с одновременным поперечным давлением показали, что с увеличением поперечного давления мрамор, становится все более пластичным. Таким образом, хрупкий мрамор в условиях трехосного сжатия проявляет пластические свойства.

Приведенные примеры свидетельствуют о том, что любой материал обладает способностью как к пластическому течению, так и к хрупкому растрескиванию. Но какой из этих двух процессов начнется раньше, зависит от структуры материала и вида напряженного состояния. Поэтому существующее разделение материалов на хрупкие и пластичные является условным и производится по результатам испытания на простое растяжение и сжатие. Правильнее говорить о хрупком и пластичном (вязком) характере разрушения материала. Первое происходит при очень малых, а второе — при значительных остаточных деформациях. Соответственно при сложном напряженном состоянии следует говорить не о предельном напряжении или а о предельном напряженном состоянии в опасной точке детали. Поясним это понятие.

Пусть напряженное состояние в опасной точке определено главными напряжениями отношения которых обозначим

Напряженные состояния, для которых коэффициенты Ко и одинаковы, называются подобными.

Будем пропорционально увеличивать напряжения не изменяя до тех пор, пока в этой точке не образуются массовые пластические деформации (начнется течение материала) или не появится трещина. Значения напряжений при которых наступает одно из указанных явлений, называются предельными, а напряженное состояние — предельным напряженным состоянием, подобным данному. Экспериментальным путем установлено, что для одного и того же материала при различных соотношениях между главными напряжениями, т. е. при различных предельные напряжения различны.

Если предельные напряжения для напряженного состояния, подобного исследуемому, известны, то запас прочности детали можно определить из соотношения:

Рис. 11.3

Предельные напряжения можно определить только опытным путем на образцах с равномерным полем напряжений во всей их рабочей части. При испытании образец нужно нагружать так, чтобы отношение главных напряжений в образце в процессе эксперимента не изменялось и было равно заданному значению коэффициентов Значения напряжений при которых образуются массовые пластические деформации или начинается разрушение, и будут предельными напряжениями для материала образца при данном напряженном состоянии.

Для каждого материала предельные напряжения суть функции отношений главных напряжений:

Определив опытным путем для различных значений можно было бы построить поверхность предельных напряжений для каждого материала (рис. 11.3). Таких поверхностей следовало бы построить две: одна соответствовала бы переходу материала из упругого в пластическое состояние, а вторая — разрушению материала. Если бы такие поверхности удалось построить и найти их уравнения или каким-либо способом изобразить их плоскими графиками, то определение предельных значений напряжений для данного материала при любых значениях, коэффициентов не представляло бы затруднений.

Однако Для построения поверхностей предельных напряжений потребовалось бы подвергнуть экспериментальному изучению для каждого материала все виды напряженных, состояний при различных соотношениях между главными напряжениями, которые могут встретиться на практике. Постановка таких опытов требует специальных и весьма сложных машин и измерительных приборов. На пути экспериментального осуществления объемного напряженного состояния и измерения величин действующих при этом напряжений возникают непреодолимые пока трудности. Например, до сих пор никому не удалось экспериментально исследовать случай трехосного равномерного растяжения.

Сложность определения предельных напряжений заставляет искать обходные пути для оценки опасности напряженного состояния в детали. Такими путями являются так называемые теории прочности.

Термин «теории прочности», как и термин «расчеты на прочность», введен в курс сопротивления материалов давно и стал общепринятым. Однако в последнее время термин «теории прочности» стал подвергаться обоснованной критике, поскольку его применяют как к случаю разрушения (нарушения прочности) материала, так и к совершенно иному явлению — переходу материала в пластическое состояние.

Более подходящим считается термин «теории предельного состояния», которого мы и будем в основном придерживаться в дальнейшем.