13.4. РАСЧЕТ БАЛОК ПО НАГРУЗКАМ, ИСЧЕРПЫВАЮЩИМ НЕСУЩУЮ СПОСОБНОСТЬ

Рассмотрим балку, лежащую на двух опорах и нагруженную в середине пролета сосредоточенной силой Р (рис. 13.8). Предположим, что поперечные сечения балки имеют две оси симметрии, одна из которых расположена в плоскости действия нагрузки.

При определении предельного значения силы Р будем пренебрегать, как и при расчете по допускаемым напряжениям, касательными напряжениями в поперечных сечениях балки.

При расчете по допускаемым напряжениям предельным будет такое значение силы при котором в наружных волокнах наиболее нагруженного сечения балки нормальные напряжения достигнут предела текучести. Предельное значение изгибающего момента при расчете по допускаемым напряжениям Из этого условия находится предельное значение нагрузки для рассматриваемой балки: Однако при несущая способность балки не исчерпана. При дальнейшем увеличении нагрузки напряжения в крайних волокнах согласно диаграмме идеально упругопластического тела остаются постоянными и равными несмотря на рост деформаций, а растут напряжения в соседних точках, пока они не достигнут величины (предполагается, что пределы текучести при растяжении и сжатии равны по величине).

В результате в балке появятся две пластические зоны, как показано на рис. 13.8, которые по мере роста нагрузки будут распространяться как по направлению к нейтральной линии сечения, так и в обе стороны от места их возникновения.

Рис. 13.8

Рис. 13.9

Состояние балки, при котором часть материала находится в пластическом, а другая в упругом состоянии, называется упругопластическим (рис. 13.9, а, б, в).

В упругопластическом состоянии прогибы балки определяются деформациями ее упругой части.

С ростом нагрузки упругое ядро будет постепенно уменьшаться, а пластические зоны будут развиваться и в конце концов сольются в одну пластическую область.

При идеальной пластичности материала дальнейший рост напряжений в пластической области невозможен, но деформации в этой области могут неограниченно возрастать при постоянных напряжениях. В результате две упруго деформированные части балки начнут поворачиваться друг относительно друга вокруг центра пластической области без дальнейшего роста нагрузки на балку. Такое состояние балки можно отождествлять с появлением в сечении, где достигнута полная текучесть, шарнира (см. рис. 13.8) с постоянным моментом трения , равным по величине и направлению изгибающему моменту в этом сечении:

где — статический момент половины площади сечения относительно его нейтральной оси. Такой шарнир называется пластическим шарниром.

Эпюра напряжений в сечении, соответствующая образованию в нем пластического шарнира, представлена на рис. 13.9, в. Напряжения — функции непрерывные и не могут изменяться скачкообразно. Поэтому вблизи нейтральной линии должна существовать хотя бы небольшая упругая зона. Однако при определении величины предельного момента влиянием этой зоны можно пренебречь.

Выражение (13.6) записано в предположении, что сечение имеет две оси симметрии, одна из которых обязательно должна совпадать с плоскостью действия нагрузки.

Если сечение не имеет горизонтальной оси симметрии, то при распространении текучести по сечению нейтральная линия сместится из центра тяжести и расположится так, что разделит площадь сечения на две равные части.

Действительно, при поперечном изгибе нормальная сила

Поэтому сумма интегралов от по растянутой и сжатой частям сечения должна быть равна нулю. Отсюда и следует

В случае несимметричного сечения предельный момент надо вычислять по формуле

При образовании пластического шарнира двухопорная балка превращается в механизм, т. е. становится геометрически изменяемой системой, что свидетельствует об исчерпании несущей способности данной балки.

Нагрузка, исчерпывающая несущую способность балки, находится из условия предельного равновесия части балки, расположенной по одну сторону от пластического шарнира.

Для рассматриваемой балки (см. рис. 13.8) имеем

В случае прямоугольного сечения

Таким образом,

Предельная нагрузка при расчете этой же балки по напряжениям в опасных точках в случае прямоугольного сечения

Если принять одинаковый запас прочности, то расчет по нагрузкам, исчерпывающим несущую способность, дает в 1,5 раза большую допускаемую нагрузку, чем расчет по напряжениям в опасной точке.