Главная > Краткий курс сопротивления материалов
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

10.9. КРУГОВАЯ ДИАГРАММА НАПРЯЖЕНИЙ (КРУГИ МОРА)

Определим нормальные и касательные напряжения на всех площадках, перпендикулярных к одной из главных, например к третьей главной площадке. На рис. 10.9 одна из этих площадок заштрихована.

Как следует из рис. 10.9, нормали к указанным площадкам имеют направляющие косинусы . Подставляя эти значения направляющих косинусов в формулы (10.15), получаем следующие выражения для нормального и касательного напряжений в исследуемых площадках:

Заменяя в последних равенствах а их выражениями через косинус двойного угла, после простых преобразований (в выражении Ту предварительно возводится в квадрат сумма, заключенная в скобки) получаем

Рис. 10.9

Рис. 10.10

Обратимся к геометрической интерпретации этих формул.

Возьмем две перпендикулярные оси; по оси абсцисс будем откладывать нормальные напряжения, а по оси ординат — касательные напряжения (рис. 10.10). Отложим отрезки ОА и соответствующие в выбранном масштабе напряжениям Затем на разности отрезков и как на диаметре построим окружность. Радиус этой окружности, как следует из ее построения, равен а абсцисса центра равна

Проведем из центра окружности прямую под углом 2а к оси абсцисс. Координаты точки пересечения этой прямой с окружностью суть отрезки и Как видно из диаграммы,

Сравнивая эти выражения с правыми частями формул (10.18), приходим к выводу, что координаты точки М определяют нормальные и касательные напряжения на площадке, наклоненной под углом а к первой главной площадке. Следовательно, координаты всех точек построенной окружности определяют напряжения во всех площадках, проходящих через данную точку и перпендикулярных к третьей главной площадке.

К такому заключению можно прийти и другим путем. Исключая из , получаем

В осях — это уравнение окружности радиуса с центром на оси а, абсцисса которого Именно эта окружность и построена на рис. 10.10.

Аналогично можно построить круговые диаграммы для площадок, перпендикулярных ко второй, а затем и к первой главной

Рис. 10.11

площадке. Если все три диаграммы построить на одном графике, то получим диаграмму для объемного напряженного состояния. Такая диаграмма представлена на рис. 10.11; она называется круговой диаграммой Мора.

Координаты точек окружности 1 на этой диаграмме определяют во всем множестве площадок, перпендикулярных ко второй главной площадке. Координаты точек окружности 2 определяют для всех площадок, перпендикулярных к третьей главной, а окружности 3 — для площадок, перпендикулярных к первой главной площадке.

В теории упругости доказывается, что напряжения на любой площадке, наклонной ко всем трем главным площадкам, определяются координатами точек заштрихованной части диаграммы.

Приведем круговые диаграммы для некоторых напряженных состояний.

На рис. 10.12 приведены круговые диаграммы напряжений для одноосного растяжения, одноосного сжатия и чистого сдвига. На рис. 10.13 представлена круговая диаграмма для гидростатического сжатия . В этом случае радиусы всех трех кругов напряжений равны нулю. Следовательно, при гидростатическом сжатии любая площадка, проходящая через точку, будет главной. Такое же положение имеет место и при всестороннем растяжении силами равной интенсивности.

Рассмотрение круговой диаграммы приводит к следующим выводам.

1. Наибольшее главное напряжение является наибольшим из всех нормальных напряжений, существующих в точке, а наименьшее — наименьшим из нормальных напряжений в этой точке. Иначе говоря, нормальные напряжения на главных площадках достигают экстремальных значений.

2, Максимальное касательное напряжение в точке

Рис. 10.12

Рис. 10.13

и действует на двух ортогональных площадках, перпендикулярных ко второй главной площадке и составляющих с первой и третьей углы 45°. Наибольшие касательные напряжения на площадках, перпендикулярных к первой и третьей главным площадкам:

Площадки действия этих напряжений соответственно делят пополам углы между второй и третьей и между первой и второй главными площадками.

К такому же заключению мы пришли в разд. 10.8 иным путем.

3. В случае равенства хотя бы двух главных напряжений один из кругов Мора стягивается в точку, и это означает, что в точке тела существует бесчисленное множество главных площадок. Эти площадки параллельны направлению главного напряжения, отличного от двух равных между собой главных напряжений. В случае равенства всех трех главных напряжений любая площадка, проходящая через точку, является главной.

1
Оглавление
email@scask.ru