10.9. КРУГОВАЯ ДИАГРАММА НАПРЯЖЕНИЙ (КРУГИ МОРА)
Определим нормальные и касательные напряжения на всех площадках, перпендикулярных к одной из главных, например к третьей главной площадке. На рис. 10.9 одна из этих площадок заштрихована.
Как следует из рис. 10.9, нормали к указанным площадкам имеют направляющие косинусы 
. Подставляя эти значения направляющих косинусов в формулы (10.15), получаем следующие выражения для нормального и касательного напряжений в исследуемых площадках:
Заменяя в последних равенствах 
а их выражениями через косинус двойного угла, после простых преобразований (в выражении Ту предварительно возводится в квадрат сумма, заключенная в скобки) получаем
Рис. 10.9
Рис. 10.10
Обратимся к геометрической интерпретации этих формул.
Возьмем две перпендикулярные оси; по оси абсцисс будем откладывать нормальные напряжения, а по оси ординат — касательные напряжения (рис. 10.10). Отложим отрезки ОА и 
соответствующие в выбранном масштабе напряжениям 
Затем на разности отрезков 
и 
как на диаметре построим окружность. Радиус этой окружности, как следует из ее построения, равен 
а абсцисса центра равна 
Проведем из центра окружности прямую под углом 2а к оси абсцисс. Координаты точки пересечения этой прямой с окружностью суть отрезки 
и 
Как видно из диаграммы,
Сравнивая эти выражения с правыми частями формул (10.18), приходим к выводу, что координаты точки М определяют нормальные и касательные напряжения на площадке, наклоненной под углом а к первой главной площадке. Следовательно, координаты всех точек построенной окружности определяют напряжения во всех площадках, проходящих через данную точку и перпендикулярных к третьей главной площадке.
К такому заключению можно прийти и другим путем. Исключая из 
, получаем
В осях 
— это уравнение окружности радиуса 
с центром на оси а, абсцисса которого 
Именно эта окружность и построена на рис. 10.10.
Аналогично можно построить круговые диаграммы для площадок, перпендикулярных ко второй, а затем и к первой главной
Рис. 10.11
площадке. Если все три диаграммы построить на одном графике, то получим диаграмму для объемного напряженного состояния. Такая диаграмма представлена на рис. 10.11; она называется круговой диаграммой Мора.
Координаты точек окружности 1 на этой диаграмме определяют 
во всем множестве площадок, перпендикулярных ко второй главной площадке. Координаты точек окружности 2 определяют 
для всех площадок, перпендикулярных к третьей главной, а окружности 3 — для площадок, перпендикулярных к первой главной площадке.
В теории упругости доказывается, что напряжения на любой площадке, наклонной ко всем трем главным площадкам, определяются координатами точек заштрихованной части диаграммы.
Приведем круговые диаграммы для некоторых напряженных состояний.
На рис. 10.12 приведены круговые диаграммы напряжений для одноосного растяжения, одноосного сжатия и чистого сдвига. На рис. 10.13 представлена круговая диаграмма для гидростатического сжатия 
. В этом случае радиусы всех трех кругов напряжений равны нулю. Следовательно, при гидростатическом сжатии любая площадка, проходящая через точку, будет главной. Такое же положение имеет место и при всестороннем растяжении силами равной интенсивности.
Рассмотрение круговой диаграммы приводит к следующим выводам.
1. Наибольшее главное напряжение является наибольшим из всех нормальных напряжений, существующих в точке, а наименьшее — наименьшим из нормальных напряжений в этой точке. Иначе говоря, нормальные напряжения на главных площадках достигают экстремальных значений.
2, Максимальное касательное напряжение в точке
Рис. 10.12
Рис. 10.13
и действует на двух ортогональных площадках, перпендикулярных ко второй главной площадке и составляющих с первой и третьей углы 45°. Наибольшие касательные напряжения на площадках, перпендикулярных к первой и третьей главным площадкам:
Площадки действия этих напряжений соответственно делят пополам углы между второй и третьей и между первой и второй главными площадками.
К такому же заключению мы пришли в разд. 10.8 иным путем.
3. В случае равенства хотя бы двух главных напряжений один из кругов Мора стягивается в точку, и это означает, что в точке тела существует бесчисленное множество главных площадок. Эти площадки параллельны направлению главного напряжения, отличного от двух равных между собой главных напряжений. В случае равенства всех трех главных напряжений любая площадка, проходящая через точку, является главной.
