ГЛАВА 10. ОСНОВЫ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ ТЕЛА

10.1. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ ТЕЛА

Напряжения в точке тела, как известно (см. разд. 1.9), зависят не только от величины действующих на тело сил, но и от ориентировки площадки их действия. На различно ориентированных площадках, проходящих через одну и ту же точку, напряжения будут различны как по величине, так и по направлению. Совокупность напряжений на всех площадках, проходящих через данную" точку, называется напряженным состояниемв точке тела. Как будет показано в дальнейшем, на пряжения на любой площадке, проходящей через данную точку, можно определить, если известны напряжения на трех взаимнб перпендикулярных площадках, проходящих через ту же точку,

10.2. КОМПОНЕНТЫ НАПРЯЖЕНИЙ В ТОЧКЕ ТЕЛА

Отнесем тело к системе прямоугольных координат и проведем через какую-либо точку тела площадки, параллельные координатным плоскостям. Напряжения на этих площадках разложим на составляющие, параллельные осям координат. В результате на каждой площадке получим одно нормальное и два касательных напряжения: на площадке, перпендикулярной оси на площадке, перпендикулярной оси , на площадке, перпендикулярной оси

Указанные девять величин, представляющие собой напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через исследуемую точку, называются компонентами напряжений или компонентами напряженного состояния в точке тела.

Для того, чтобы сделать изображение компонентов напряжений более наглядным, из тела в окрестности исследуемой точки вырезают элементарный параллелепипед, грани которого направляют параллельно рассматриваемым площадкам (см. рис. 1.1). Вследствие малых размеров параллелепипеда одноименные напряжения на противоположных его гранях можно считать равными напряжениям на параллельной им площадке, проходящей через исследуемую точку.

Итак, в каждой точке имеется девять компонентов напряжений (в частных случаях некоторые из них могут быть равны нулю). Их

Рис. 10.1

Рис. 10.2

принято записывать в виде таблицы — тензора напряженного состояния

Из девяти компонентов напряжений независимых всего шесть, так как согласно свойству парности касательных напряжений

Для компонентов напряжений принято следующее правило знаков.

В том случае, когда внешняя по отношению к рассматриваемой части тела нормаль к сечению совпадает по направлению с параллельной ей осью координат, положительными направлениями компонентов напряжений в этом сечении считаются направления параллельных им осей координат. Если же внешняя нормаль противоположна направлению параллельной ей оси координат, то положительные направления компонентов напряжений противоположны направлению параллельных им осей. На рис. 10.1 показаны положительные направления компонентов напряжений.

При исследовании напряженного состояния предполагается, что компоненты напряжений известны. Для деталей, имеющих форму бруса, задача определения компонентов напряжений решается сравнительно просто, так как известны формулы для напряжений в сечениях бруса при различных комбинациях нагрузок. Значительно труднее определить компоненты напряжений аналитическими методами для деталей, имеющих более сложную форму, как, впрочем, и для бруса в местах концентраций напряжений. Эти задачи рассматриваются в курсах теории упругости и пластичности. В тех случаях, когда аналитическое решение невозможно, прибегают к различным экспериментальным методам определения напряжений.

Пример. Определить компоненты напряжений в точке А поверхности трубы (рис. 10.2), подвергнутой одновременно действию изгибающих нагрузок и скручивающих пар

Решение. Вырежем в окрестности точки А двумя поперечными и тремя продольными сечениями бесконечно малый параллепипед так, чтобы его верхняя грань совпадала с боковой поверхностью бруса (рис. 10.2). Поскольку боковая поверхность бруса свободная от нагрузок, то напряжения на гранях, перпендикулярных оси у, будут равны нулю. Нулю будут равны и нормальные напряжения на гранях, перпендикулярных оси так как по предположению продольные волокна при изгибе друг на друга не давят.

Таким образом, из девяти компонентов напряженного состояния в точке А трубы отличны от нуля только три: Для их определения имеем формулы