8.3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ЗАДАЧ

Решение статически неопределимых задач методом сил проводится в такой последовательности.

1. Устанавливается степень статической неопределимости системы как разность между числом искомых неизвестных усилий и числом независимых уравнений равновесия. При этом учитывается, что простой шарнир, соединяющий два стержня системы, уменьшает степень статической неопределимости на единицу, так как снимает одну связь, препятствующую повороту одной части системы относительно другой. Тем самым простой шарнир позволяет добавить к уравнениям равновесия всей системы уравнение равновесия присоединенной этим шарниром части системы. Шарнир, связывающий (три и более) частей системы, играет роль простых шарниров и поэтому снижает степень статической неопределимости на единиц.

2. Из заданной статически неопределимой системы выделяется основная система путем удаления лишних связей и внешней нагрузки.

В качестве лишних могут быть выбраны различные связи. Поэтому для одной и той же статически неопределимой системы можно получить сколько угодно основных систем. Но любая основная систэма должна быть обязательно геометрически неизменяемой и статически определимой.

Геометрически неизменяемой называется система, перемещения точек которой возможны лишь как следствие деформаций системы. Нельзя выбирать в качестве основной и мгновенно геометрически изменяемую систему, потому что в такой системе при любой сколь угодно малой нагрузке усилия получаются бесконечно большими или неопределенными (см. второй пример этого раздела).

3. Изображается соответствующая выбранной основной эквивалентная система, в которой взамен снятых лишних связей и в их направлении приложены силы если связи препятствовали линейному перемещению, и пары если они исключали повороты сечений.

4. Составляются канонические уравнения метода сил

5. Вычисляются коэффициенты канонических уравнений аналитически по формуле (7.2) или перемножением эпюр по способу Верещагина. Для этого строятся в основной системе эпюры внутренних силовых факторов отдельно от заданной нагрузки и всех единичных усилий, приложенных вместо Индексы у коэффициента указывают на номера эпюр, которые надо перемножить при его вычислении, или номера внутренних силовых факторов, которые надо подставить в интеграл Мора.

6. Решается система канонических уравнений и определяются величины искомых силовых факторов

7. Определяются окончательные значения внутренних силовых факторов в сечениях эквивалентной системы суммированием их значений от каждой из нагрузок в отдельности:

где — искомый силовой фактор — изгибающий или крутящий момент, нормальная или перерезывающая сила в рассматриваемом сечении; — аналогичный силовой фактор от одной только внешней нагрузки; — аналогичный силовой фактор от единичного усилия, приложенного вместо

При построении суммарных эпюр силовых факторов (изгибающих и крутящих моментов и т. д.) их ординаты находятся алгебраическим суммированием ординат ранее построенных эпюр тех же факторов от заданных нагрузок и единичных эпюр, увеличенных в раз.

Можно поступить и иначе, а именно, заменить в эквивалентной системе неизвестные их вычисленными значениями и определять внутренние силовые факторы в сечениях этой системы одновременно от заданной нагрузки и усилий

Очевидно, что окончательные результаты расчета не зависят от выбора основной и эквивалентной системы, так как все системы, эквивалентные данной, эквивалентны и между собой.

Рассмотрим несколько примеров раскрытия статической неопределимости плоских рам.

Пример. Решить плоскую раму, представленную на рис. 8.5.

Решение. Данная рама дважды статически неопределима. На рис. 8.5 показаны три из большого числа возможных эквивалентных систем. Остановимся на первой системе и запишем для нее канонические уравнения

Рис. 8.5

Коэффициенты этих уравнений вычислим способом Верещагина. Для этого построим эпюры изгибающих моментов от распределенной нагрузки и единичных сил, Перемножая эпюры согласно индексам коэффициентов, находим

Подставляя эти значения коэффициентов в канонические уравнения и решая их, получаем

Суммируя ординаты эпюры с ординатами эпюры «1», умноженными на и эпюры «2», увеличенными в раз, строим суммарную эпюру изгибающих моментов М.

Изгибающий момент в текущем сечении горизонтального участка находим по формуле (8.5):

Приравнивая нулю производную устанавливаем, что эта функция имеет экстремум при причем

Пример, Построить эпюру изгибающих моментов для рамы, представленной на рис. 8.6.

Решение. Рама один раз статически неопределима. Выберем основную систему, удаляя одну связь в нижнем (или верхнем) шарнире. Однако в рассматриваемой раме горизонтальные и вертикальные опорные связи неравноценны. Если удалить горизонтальную связь, то при любой нагрузке реакция оставшейся вертикальной связи должна быть бесконечно большой, так как линия ее действия проходит через центр верхнего шарнира, а момент внешней нагрузки относительно этого шарнира не равен нулю. Чтобы воспринять даже самую малую нагрузку, эта рама должна сначала повернуться как жесткое целое (без деформации) на бесконечно малый угол Тогда плечо реакции станет отличным от нуля, а сама реакция будет конечной, но значительной по величине,

Рис. 8.6

Такая система является мгновенно геометрически изменяемой. Ее в качестве основной системы выбирать нельзя.

Положение сразу же изменяется, если удалить не горизонтальную, а вертикальную опорную связь. В такой основной системе при любой нагрузке опорные реакции и внутренние силовые факторы будут конечными и определенными. Эквивалентная система, соответствующая этой основной системе, представлена на рис. 8.6. Там же приведены эпюры изгибающих моментов от заданной и единичной нагрузок.

Вычисляя коэффициенты канонического уравнения интегрированием на криволинейных участках и перемножением эшор на прямолинейных, получаем

Отсюда

Суммарный изгибающий момент на криволинейном участке изменяется по закону . Приравнивая нулю производную от :

получаем

Следовательно, при функция имеет экстремум, причем Суммарная эпюра приведена на рис, 8.6.